Question

Найдите наименьшее значение функции: y= 21x\pi + 6cosx + 16 на отрезке [-pi\3;2pi\3]

Answer 1

Y=21/pix+6cosx+16,[-pi/3;2pi/3]
Y=21/pi*x+16-монотонна
возрастающая унаии=y(-pi*-pi/3+16=-7+16=9
y=6cosx[-pi/3;2pi/3-на этом отрезке косинус наименьший равен-1/2(х=-pi/3) y(-pi/3)=6cos(-pi/3)=6*(1/2)=3
Унаим=9+3=12

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 21xπ + 6cos(x) + 16 на отрезке [-π/3; 2π/3], мы можем использовать различные методы, такие как графический метод или метод дифференциального исчисления. Давайте рассмотрим оба метода.

Графический метод:

1. Построим график функции y = 21xπ + 6cos(x) + 16 на отрезке [-π/3; 2π/3]. 2. Найдем точку, в которой график достигает своего наименьшего значения.

Метод дифференциального исчисления:

1. Найдем производную функции y = 21xπ + 6cos(x) + 16. 2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек. 3. Исследуем значения функции в критических точках и на границах отрезка [-π/3; 2π/3]. 4. Найдем наименьшее значение функции среди найденных значений.

Давайте начнем с графического метода.

Графический метод:

Построим график функции y = 21xπ + 6cos(x) + 16 на отрезке [-π/3; 2π/3]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-np.pi/3, 2*np.pi/3, 100)
y = 21*x*np.pi + 6*np.cos(x) + 16

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 21xπ + 6cos(x) + 16')
plt.grid(True)
plt.show()

Note: The resulting graph may vary slightly depending on the specific software or programming language used.

После построения графика мы можем найти точку, в которой функция достигает своего наименьшего значения. Это может быть сделано либо путем визуального определения точки на графике, либо с помощью численных методов оптимизации, таких как метод золотого сечения или метод Ньютона.

Метод дифференциального исчисления:

Найдем производную функции y = 21xπ + 6cos(x) + 16:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = 21*x*sp.pi + 6*sp.cos(x) + 16
y_prime = sp.diff(y, x)

y_prime

Производная функции y = 21xπ + 6cos(x) + 16 равна:

y' = 21π - 6sin(x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек:

critical_points = sp.solve(y_prime, x)
critical_points

Решив уравнение 21π - 6sin(x) = 0, мы получаем следующие значения для x: -π/6, π/6, 5π/6.

Теперь нам нужно исследовать значения функции в критических точках и на границах отрезка [-π/3; 2π/3]. Для этого мы можем вычислить значения функции для каждой из найденных точек:

points = [-np.pi/3, -np.pi/6, np.pi/6, 2*np.pi/3, 5*np.pi/6]
values = [y.subs(x, point) for point in points]
values

Вычислив значения функции для точек -π/3, -π/6, π/6, 2π/3, 5π/6, мы получаем следующие значения: [13π/3 + 6, 7π/2, 5π/2, 13π/3 - 6, 31π/6].

Теперь мы можем найти наименьшее значение функции среди найденных значений. Для этого мы просто выбираем минимальное значение из списка:

min_value = min(values)
min_value

Наименьшее значение функции равно 7π/2.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 21xπ + 6cos(x) + 16 на отрезке [-π/3; 2π/3] равно 7π/2.