Question

Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких існує єдина трійка чисел (x, y, z), яка задовільняє рівності x+y+z=x^2+9y^2, 3x+2y+z=a

Answer 1

x+y+z=x^2+9y^2,
 3x+2y+z=a
Вычтем из 1-го уравнения 2-е (чтобы избавиться от "z")
Получим: -2х -у = х² + 9у² - а
К нулю:
х² +2х +9у² +у -а = 0
(х² +2х) + 9(у² +1/9*у) = а (выделяем полный квадрат)
(х² +2х +1) -1 + 9(у² + 2*1/18*у +1/324)-1/324 = а
(х+1)² +9(у+1/18)² = а +1 +1/324
левая часть - окружность ("сплюснутая")
правая часть R²
Чтобы система имела одно решение, надо чтобы радиус "выродился в точку". А это значит, что а +1 +1/324 =0,⇒ а = -1 1/324= -325/324

Answer 2

Для знаходження всіх значень параметра "a", при яких існує єдина трійка чисел (x, y, z), що задовольняє рівнянням:

1. x + y + z = x^2 + 9y^2
2. 3x + 2y + z = a

Спочатку розглянемо перше рівняння:

x + y + z = x^2 + 9y^2

Ми можемо виразити одну зі змінних через інші. Давайте виразимо, наприклад, z:

z = x^2 + 9y^2 - x - y

Тепер ми можемо підставити це значення z в друге рівняння:

3x + 2y + (x^2 + 9y^2 - x - y) = a

Згрупуємо подібні члени і спростимо рівняння:

x^2 + 3x + 9y^2 + y - a = 0

Це квадратне рівняння щодо x та y. Щоб існувала єдина трійка чисел (x, y, z), це рівняння повинно мати рівно один розв'язок.

Згідно з умовою задачі, ми шукаємо значення параметра "a", при яких це рівняння має єдиний розв'язок. Це означає, що дискримінант цього квадратного рівняння повинен бути рівний нулю:

Дискримінант = (3^2) - 4 * 1 * (9y^2 + y - a) = 9 - 36y^2 - 4(9y^2 + y - a) = 0

9 - 36y^2 - 36y^2 - 4y + 4a = 0

-72y^2 - 4y + 9 + 4a = 0

-72y^2 - 4y + (9 + 4a) = 0

Тепер, щоб мати єдиний розв'язок для "y", дискримінант цього квадратного рівняння повинен бути рівний нулю:

D = (-4)^2 - 4 * (-72) * (9 + 4a) = 16 + 288 * (9 + 4a) = 0

288 * (9 + 4a) = -16

288 * 4a = -16 - 288 * 9

1152a = -16 - 2592

1152a = -2608

a = -2608 / 1152

a = -13/6

Таким чином, єдина трійка чисел (x, y, z) задовольняє вказані рівняння при a = -13/6.