Question

Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Найти угол наклона касательной к графику функции f(x)=1/2 x^2 в точке с абсциссой x_0=1.

Answer 1

Tga=f`(x0)
f`(x)=x
f`(1)=1
tga=1
a=45

Answer 2

Определение производной

Производная функции в точке представляет собой мгновенную скорость изменения функции в этой точке. Формально, производная функции f(x) в точке x=a обозначается как f'(a) или dy/dx|_(x=a) и определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f'(a) = lim(h->0) [f(a + h) - f(a)] / h

Геометрический и механический смысл производной

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что она представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Механический смысл производной связан с мгновенной скоростью изменения зависимой переменной от независимой переменной в контексте задачи, например, скорость изменения положения тела от времени.

Найти угол наклона касательной к графику функции f(x)=1/2+x^2 в точке с абсциссой x_0=1

Для нахождения угла наклона касательной к графику функции f(x)=1/2+x^2 в точке с абсциссой x_0=1 необходимо вычислить производную функции f(x) и подставить значение x_0=1 в полученную производную.

Сначала найдем производную функции f(x)=1/2+x^2: f'(x) = d/dx(1/2+x^2) = 2x

Теперь подставим x_0=1 в производную: f'(1) = 2*1 = 2

Таким образом, угол наклона касательной к графику функции f(x)=1/2+x^2 в точке с абсциссой x_0=1 равен 2 радиан.