Question

1 найти сумму целочисленных значений функции y=4cos^2+sin^2 2 решить:sin6x*cos2x=sin5x*cos3x 3 sinxsin2xsin3x=1/4sin4x 4 2-3sinx-cos2x/6x^2-пx-п^2=0

Answer 1

1) y = 4cos^2 x + sin^2 x = 3cos^2 x + 1
Так как cos x принимает значения [-1; 1], то cos^2 x принимает [0; 1].
Значит, y = 3cos^2 x + 1 принимает [3*0+1; 3*1+1] = [1; 4]
Сумма целочисленных значений S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

2) Есть формула произведения функций:
sin a*cos b = 1/2*[sin(a+b) + sin(a-b)]
sin 6x*cos 2x = sin 5x*cos 3x
1/2*[sin(6x+2x) + sin(6x-2x)] = 1/2*[sin(5x+3x) + sin(5x-3x)]
1/2*(sin 8x + sin 4x) = 1/2*(sin 8x + sin 2x)
Умножаем на 2
sin 8x + sin 4x = sin 8x + sin 2x
sin 4x = sin 2x
2sin 2x*cos 2x = sin 2x
sin 2x*(2cos 2x - 1) = 0
sin 2x = 0; 2x = pi*k; x1 = pi/2*k
cos 2x = 1/2; 2x = +-pi/3 + 2pi*n; x2 = +-pi/6 + pi*n

3. sin x*sin 2x*sin 3x = 1/4*sin 4x
sin x*sin 2x*sin 3x = 1/4*2sin 2x*cos 2x = 1/2sin 2x*cos 2x
sin 2x*(sin x*sin 3x - 1/2cos 2x) = 0
sin 2x = 0; x1 = pi/2*k (это уже решено в задаче 2)
Еще одна формула произведения функций:
sin a*sin b = 1/2*[cos(a-b) - cos(a+b)]
sin 3x*sin x = 1/2*[cos(3x-x) - cos(3x+x)] = 1/2*(cos 2x - cos 4x)
1/2*(cos 2x - cos 4x) - 1/2*cos 2x = 0
-1/2*cos 4x = 0; cos 4x = 0; 4x = pi/2 + pi*n; x2 = pi/8 + pi/4*n

4. $\frac{2-3sin(x)-cos(2x)}{6x^2- \pi *x- \pi ^2} =0$
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
{ 2 - 3sin x - cos 2x = 0
{ 6x^2 - pi*x - pi^2 ≠ 0
В 1 уравнении выразим cos 2x = 1 - 2sin^2 x.
Во 2 уравнении разделим всё на pi^2
{ 2 - 3sin x - 1 + 2sin^2 x = 2sin^2 x - 3sin x + 1 = (sin x - 1)(2sin x - 1) = 0
{ 6(x/pi)^2 - (x/pi) - 1 = (3*x/pi + 1)(2*x/pi - 1) ≠ 0
Получаем
{ sin x = 1; x1 = pi/2 + 2pi*k; sin x = 1/2; x2 = pi/6 + 2pi*n; x3 = 5pi/6 + 2pi*n
{ x/pi ≠ -1/3; x ≠ -pi/3; x/pi ≠ 1/2; x ≠ pi/2
Решение: x1 = pi/2 + 2pi*k; k ∈ Z; k ≠ 0
x2 = pi/6 + 2pi*n; x3 = 5pi/6 + 2pi*n; n ∈ Z

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из ваших уравнений по отдельности:

1. Найдем сумму целых значений функции y = 4cos^2(x) + sin^2(x).

Для этого нужно найти максимальное и минимальное значение функции и затем сложить все целые значения между ними. Максимальное значение функции - 4 (при x = 0), минимальное значение - 1 (при x = π), так как cos^2(x) и sin^2(x) не могут быть больше 1. Таким образом, сумма целых значений функции y равна 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

2. Решим уравнение sin(6x) * cos(2x) = sin(5x) * cos(3x).

Сначала перепишем его в более простой форме: sin(6x) * cos(2x) - sin(5x) * cos(3x) = 0

Используя тригонометрические тождества, можно преобразовать это уравнение:

sin(6x - 5x) = sin(x) = 0

Теперь мы можем найти значения x, при которых sin(x) = 0. Это происходит, когда x равно кратным значениям числа π:

x = πn, где n - целое число.

3. Решим уравнение sin(x) * sin(2x) * sin(3x) = 1/4 * sin(4x).

Сначала перепишем уравнение, умножив обе стороны на 4:

4 * sin(x) * sin(2x) * sin(3x) = sin(4x)

Затем используем тригонометрические тождества, чтобы упростить его:

2 * sin(x) * [2 * sin(2x)] * [3 * sin(3x)] = 2 * sin(2x) * [2 * sin(2x)]

Теперь можем сократить обе стороны на 2 * sin(2x):

3 * sin(x) * 3 * sin(3x) = 1

9 * sin(x) * sin(3x) = 1

Теперь решим это уравнение. После преобразований мы видим, что:

sin(x) * sin(3x) = 1/9

Решение этого уравнения зависит от конкретных значений x, и его решение может потребовать численных методов или графического анализа.

4. Решим уравнение 2 - 3sin(x) - cos(2x) / (6x^2 - πx - π^2) = 0.

Для этого уравнения, возможно, придется использовать численные методы, такие как метод Ньютона-Рафсона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения x, при которых уравнение равно 0. Решение этого уравнения аналитически может быть достаточно сложным, и оно зависит от конкретных значений, которые вы можете использовать для численных расчетов.