Question

Cosx(tgx-1)=0 y на промежутке от -pi до p включительно

Answer 1

Cosx=0<=>x=pi/2+pik, k∈z
tgx=1<=>pi/4+pik, k∈z
x={-3pi/4;-pi/2;pi/4;pi/2}

Answer 2

Уравнение $\cos(x(\tan(x)-1)) = 0$ имеет корни на заданном интервале $[- \pi, \pi]$. Чтобы найти эти корни, рассмотрим уравнение более подробно.

Сначала рассмотрим функцию $\tan(x)$. Эта функция равна нулю в точках $x = -\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число. Значит, у нас есть корни уравнения, когда $\tan(x) = 1$, что происходит при $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Теперь мы знаем, что $\tan(x) = 1$ в точках $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Теперь мы можем найти корни уравнения $\cos(x(\tan(x)-1)) = 0$. Для этого подставим значения $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ в уравнение:

1. $\cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right)(1-1)\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) \cdot 0\right) = \cos(0) = 1$.

Таким образом, у нас есть один корень на каждом из интервалов $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi\right)$ и $\left(\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ для любого целого числа $k$.

Итак, у нас есть бесконечное множество корней на интервале $[- \pi, \pi]$, и их можно записать следующим образом:

$$x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad -2 \leq k \leq 2.$$

То есть корни будут следующими: $x = -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.