Question

РЕБЯТА ПОМОГИТЕ ПОЖ Вычислить интеграл с помощью метода интегрирования по частям ∫e^√x dx

Answer 1

$\int e^{ \sqrt{x} }dx= \left[\begin{array}{ccc} \sqrt{x} =t \\ x=t^2 \\dx=2tdt\end{array}\right] = \int e^t \cdot 2tdt = 2\int td(e^t)=\\ = 2te^t - 2\int e^tdt = 2te^t - 2e^t + C = 2 \sqrt{x} e^{ \sqrt{x} } - 2e^{ \sqrt{x} } +C.$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫e^√x dx с помощью метода интегрирования по частям, мы будем использовать следующую формулу для интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

где u и dv - это две функции, которые выбираются так, чтобы упростить интеграл. Давайте выберем:

u = e^√x dv = dx

Теперь нужно вычислить производные и дифференциалы:

du = (1/2)e^√x dx v = x

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫e^√x dx = uv - ∫v du ∫e^√x dx = (e^√x) * x - ∫x * (1/2)e^√x dx

Теперь вычислим последний интеграл:

∫x * (1/2)e^√x dx = (1/2) ∫x e^√x dx

Мы снова можем использовать метод интегрирования по частям для этого интеграла. Давайте выберем новые u и dv:

u = x dv = (1/2)e^√x dx

Вычислим соответствующие du и v:

du = dx v = (1/2)e^√x

Теперь применим формулу интегрирования по частям к новому интегралу:

(1/2) ∫x e^√x dx = (1/2)(x * (1/2)e^√x - ∫(1/2)e^√x dx) (1/2) ∫x e^√x dx = (1/4)x e^√x - (1/4) ∫e^√x dx

Теперь у нас есть интеграл ∫e^√x dx как часть правой стороны этого уравнения. Переносим его на левую сторону:

(1 - 1/4) ∫e^√x dx = (1/4)x e^√x

3/4 ∫e^√x dx = (1/4)x e^√x

Теперь делим обе стороны на 3/4, чтобы найти значение исходного интеграла:

∫e^√x dx = (4/3)x e^√x + C

где C - произвольная постоянная.