Question

Найти интеграл с помощью метода интегрирования по частям:(x-2)*4^xdx

Answer 1

X-2=u  du=dx
dv=4^xdx  v=4^x/ln4
uv=(x-2)*4^x/ln4
$\int\limits {(x-2)4^x} \, dx =(x-2)*4^x/ln4- \int\limits{4^x/ln4} \, dx$=

=4^x/ln4((x-2)-1/ln4)

Answer 2

Для нахождения интеграла с помощью метода интегрирования по частям для функции (x-2)*4^x, мы можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = u*v - ∫ v du

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Шаг 1: Выбор функций u и dv

Для данной функции (x-2)*4^x, мы можем выбрать: u = (x-2) и dv = 4^x dx

Шаг 2: Нахождение дифференциалов du и v

Найдем дифференциалы du и v: du = d(x-2) = dx v = ∫ dv = ∫ 4^x dx

Шаг 3: Нахождение интеграла

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям для нахождения интеграла:

∫ (x-2)*4^x dx = u*v - ∫ v du

Подставим значения u, v, du и dv:

∫ (x-2)*4^x dx = (x-2) * ∫ 4^x dx - ∫ (∫ 4^x dx) dx

Шаг 4: Вычисление интеграла

Для вычисления интеграла ∫ 4^x dx, мы можем использовать стандартные методы интегрирования для функции 4^x. Однако, для данного ответа, мы будем использовать результаты из поисковых результатов.

Из поисковых результатов мы видим, что интеграл ∫ 4^x dx равен (1/ln(4)) * 4^x + C.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу интегрирования по частям:

∫ (x-2)*4^x dx = (x-2) * ((1/ln(4)) * 4^x + C) - ∫ ((1/ln(4)) * 4^x + C) dx

Шаг 5: Упрощение выражения

Для упрощения выражения, мы можем раскрыть скобки и объединить подобные слагаемые:

∫ (x-2)*4^x dx = (x-2) * ((1/ln(4)) * 4^x + C) - ((1/ln(4)) * ∫ 4^x dx) - C * ∫ dx

Шаг 6: Вычисление оставшихся интегралов

Для вычисления оставшихся интегралов, мы можем использовать результаты из поисковых результатов.

Из поисковых результатов мы видим, что интеграл ∫ 4^x dx равен (1/ln(4)) * 4^x + C.

Также, интеграл ∫ dx равен x + C.

Подставим эти значения в выражение:

∫ (x-2)*4^x dx = (x-2) * ((1/ln(4)) * 4^x + C) - ((1/ln(4)) * ((1/ln(4)) * 4^x + C)) - C * (x + C)

Шаг 7: Упрощение выражения

Для упрощения выражения, мы можем раскрыть скобки и объединить подобные слагаемые:

∫ (x-2)*4^x dx = (x-2) * ((1/ln(4)) * 4^x + C) - ((1/ln(4))^2 * 4^x + (1/ln(4)) * C) - C * x - C^