Question

(2x+1)(x+2)/x-2 <0 решите

Answer 1

(2x+1)(x+2)/x-2 <0 ⇒  (2x²+x+4x+2-2x)/x<0  ⇒(2x²+3x+2)/x<0

2x²+3x+2 всегда больше нуля, т.к D=9-4·2·2<0, и коэффициент при x² равен 2>0,  поэтому (2x²+3x+2)/x<0 при x<0
                      -                                      +
-------------------------------------(0)-------------------------------------------
ответ
x<0

Answer 2

Для решения неравенства (2x+1)(x+2)/(x-2) < 0, сначала найдем корни уравнения (2x+1)(x+2)/(x-2) = 0. Эти корни будут точками разрыва функции, и они разделят число x на интервалы, на которых неравенство может быть истинным или ложным. Затем мы можем использовать тестовую точку на каждом интервале, чтобы определить, выполнено ли неравенство.

1. Найдем корни уравнения (2x+1)(x+2)/(x-2) = 0:

(2x+1)(x+2) = 0

Теперь рассмотрим два множителя:

a) 2x + 1 = 0 2x = -1 x = -1/2

b) x + 2 = 0 x = -2

Таким образом, у нас есть два корня: x = -1/2 и x = -2.

2. Теперь построим знаковую таблицу, разделяя ось x на интервалы с учетом найденных корней:

	(-беск.)	-2	-1/2	(беск.)
(2x+1)	-	-	+	+
(x+2)	-	-	+	+
(x-2)	-	-	-	+
f(x)	-	+	-	+

3. Теперь выберем тестовую точку на каждом интервале и определим знак функции (2x+1)(x+2)/(x-2) в этой точке:

• Для интервала (-беск., -2), давайте выберем x = -3: f(-3) = (-5)(-1)/(-5) = 1 Знак: +

• Для интервала (-2, -1/2), давайте выберем x = -1: f(-1) = (-3)(1)/(-3) = 1 Знак: +

• Для интервала (-1/2, +беск.), давайте выберем x = 0: f(0) = (1)(2)/(-2) = -1 Знак: -

Исходя из таблицы и знаков функции на интервалах, неравенство (2x+1)(x+2)/(x-2) < 0 выполняется на интервалах (-2, -1/2). Таким образом, решение этого неравенства:

x ∈ (-2, -1/2)