Question

Найти экстремумы функции f(x)=x^3-3x^2+1

Answer 1

F'(x)=3x^2-6x
3x^2-6x=0 |:3
x^2-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 x-2=0
x2=2
чертим прямую с интервалами:
----|------|----> x
+ 0 - 2 +
точка max- 0
точка min- 2

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 1, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Для начала, найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования степенной функции: производная x^n равна n*x^(n-1).

f'(x) = 3x^2 - 6x

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x, при которых f'(x) = 0:

3x^2 - 6x = 0

Вынесем общий множитель:

3x(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, нужно проанализировать знак производной f'(x) в окрестностях каждой из них.

1. При x < 0: f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) Так как x(x - 2) < 0 при x < 0, то f'(x) < 0. Значит, функция убывает при x < 0.

2. При 0 < x < 2: f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) Так как x(x - 2) > 0 при 0 < x < 2, то f'(x) > 0. Значит, функция возрастает при 0 < x < 2.

3. При x > 2: f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) Так как x(x - 2) > 0 при x > 2, то f'(x) > 0. Значит, функция возрастает при x > 2.

Исходя из анализа знака производной, можно сделать вывод, что точка x = 0 является локальным максимумом функции, а точка x = 2 - локальным минимумом.

Таким образом, функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 имеет локальный максимум в точке (0, 1) и локальный минимум в точке (2, -3).