Question

Найти сумму корней уравнения. x^2 + x + x^-1 + x^-2 = 4

Answer 1

$x^2+x+x^{-1}+x^{-2}=4$
$x \neq 0$
ведем замену
$x+x^{-1}=t$
тогда
$(x+x^{-1})^2=t^2$
$x^2+2x*x^{-1}+x^{-2}=t^2$
$x^2+x^{-2}=t^2-2$
уравнение перепишется в виде
$t^2-2+t=4$
$t^2+t-6=0$
$(t+3)(t-2)=0$
$t+3=0;t_1=-3$
$t-2=0;t_2=2$
первый случай
$x+x^{-1}=-3$
$x^2+3x+1=0$
$D=3^2-4*1=9-4=5$
$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
$x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$
второй случай
$x+x^{-1}=2$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
$x_{3,4}=1$
$x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}+\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+1+1=-3+2=-1$
ответ: -1

второй вариант решения
Перепишем уравнение в виде уравнения четвертой степени
$x^4+x^3-2x^2+x+1=0$
по обобщенной теореме Виета
$x_1+x_2+x_3+x_4=-1$
ответ: -1

Answer 2

Для нахождения суммы корней уравнения x^2 + x + x^(-1) + x^(-2) = 4, мы можем сначала преобразовать его в квадратное уравнение и затем воспользоваться формулой Виета.

Сначала умножим всё уравнение на x^2, чтобы избавиться от отрицательных показателей степеней:

x^2(x^2 + x + x^(-1) + x^(-2)) = 4x^2

x^4 + x^3 + 1 + 1 = 4x^2

Теперь преобразуем это в квадратное уравнение:

x^4 + x^3 - 4x^2 + 1 = 0

Теперь мы можем найти корни этого уравнения. Давайте обозначим корни как a, b, c и d (возможно, с повторяющимися корнями).

Используя формулу Виета для суммы корней, мы знаем, что:

a + b + c + d = -b_1

где b_1 - коэффициент при x^3, который в нашем случае равен 1.

Следовательно, сумма корней уравнения x^4 + x^3 - 4x^2 + 1 = 0 равна -1.