Question

Помогите плиз решить!!!! ОЧень срочно нужно! Для функции f(x)=2-8sin4x найдите первообразную , график которой проходит через точку М( п/8 ; п/2 ).

Answer 1

Вё подробно написала в решении...

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 2 - 8sin(4x), проходящей через точку M(π/8; π/2), нужно произвести интегрирование функции. Начнем с нахождения первообразной:

∫f(x) dx = ∫(2 - 8sin(4x)) dx

Интегрируя по отдельным частям:

∫2 dx - ∫8sin(4x) dx

Интеграл ∫2 dx равен 2x, а для интеграла ∫sin(4x) dx, мы используем интеграл по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

Где: u = sin(4x) (берем его производную как dv) dv = dx (берем его интеграл как du)

Вычислим производные и интегралы: du = 4cos(4x) dx v = x

Теперь используем формулу интегрирования по частям:

-∫8sin(4x) dx = -4xsin(4x) + ∫4cos(4x) dx

Интегрируем ∫4cos(4x) dx:

-4xsin(4x) + ∫4cos(4x) dx = -4xsin(4x) + 4∫cos(4x) dx

Интеграл ∫cos(4x) dx равен (1/4)sin(4x), поскольку производная sin(4x) равна 4cos(4x). Так что:

-4xsin(4x) + 4∫cos(4x) dx = -4xsin(4x) + (4/4)sin(4x) = -4xsin(4x) + sin(4x)

Теперь объединим все части:

∫f(x) dx = 2x - 4xsin(4x) + sin(4x) + C

Где C - произвольная постоянная. Теперь нам нужно найти значение C, чтобы график первообразной проходил через точку M(π/8; π/2). Подставим значения x и f(x) из этой точки:

π/2 = 2(π/8) - 4(π/8)sin(4(π/8)) + sin(4(π/8)) + C

Упростим выражение:

π/2 = π/4 - πsin(π/2) + sin(π/2) + C

π/2 = π/4 - π(1) + 1 + C

C = π/2 - π/4 + π - 1

C = (π/4) + π - 1

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2 - 8sin(4x), проходящая через точку M(π/8; π/2), будет:

F(x) = 2x - 4xsin(4x) + sin(4x) + (π/4) + π - 1