Question

Знайти найменше та найбільше значення функції на зазначеному інтервалі: y=x^5-5x^4+5x^3+1 [-1;2]

Answer 1

Решение на фото................

Answer 2

Y`=5x^4-20x³+15x²=5x²(x²-4x+3)=5x²(x-1)(x-3)=0
x=0  x=1  x=3∉[-1;2]
 y(-1)=-1-5-5+1=-10-наим
y(0)=0-0+0+1=1
y(1)=1-5+5+1=2-наиб
y(2)=32-80+40+1=-7          

Answer 3

Щоб знайти найменше та найбільше значення функції $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 1$ на інтервалі $[-1; 2]$, спочатку треба знайти критичні точки функції всередині цього інтервалу, а потім порівняти значення функції у цих точках разом із значеннями функції на краях інтервалу.

1. Знайдемо похідну функції $y$ за $x$:

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$

2. Тепер знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння $y' = 0$:

$5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0$

$x^2(5x^2 - 20x + 15) = 0$

$x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$

$x^2(x - 3)(x - 1) = 0$

Звідси отримуємо критичні точки $x = 0$, $x = 1$ і $x = 3$.

3. Знайдемо значення функції в цих критичних точках та на краях інтервалу:

• При $x = -1$: $y = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 + 1 = -1 + 5 - 5 + 1 = 0$

• При $x = 0$: $y = 0^5 - 5(0)^4 + 5(0)^3 + 1 = 1$

• При $x = 1$: $y = 1^5 - 5(1)^4 + 5(1)^3 + 1 = 1 - 5 + 5 + 1 = 2$

• При $x = 2$: $y = 2^5 - 5(2)^4 + 5(2)^3 + 1 = 32 - 80 + 40 + 1 = -7$

• При $x = 3$: $y = 3^5 - 5(3)^4 + 5(3)^3 + 1 = 243 - 405 + 135 + 1 = -26$

Таким чином, найменше значення функції на інтервалі $[-1; 2]$ дорівнює -26 (досягається при $x = 3$), а найбільше значення дорівнює 2 (досягається при $x = 1$).