Question

Знайдіть проміжок зростання функції y=1/2*x квадрат-4x+1

Answer 1

Ответ:

Функция возрастает на промежутке [4; +∞)

Объяснение:

Найти промежуток возрастания функции:

$\displaystyle \bf y=\frac{1}{2}x^2-4x+1$

Дана функция

$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-4x+1$

- квадратичная функция вида y = ax² + bx + c, график парабола, ветви вверх.

⇒ минимальное значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a} =- \frac{-4}{2\cdot \frac{1}{2} } =\frac{4}{1}=4$

⇒ функция убывает на промежутке (-∞; 4],

функция возрастает на промежутке [4; +∞)

Можно найти промежуток возрастания с помощью производной.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle y'=\frac{1}{2}\cdot2x-4\cdot1+0=x-4\\ \\x-4=0\\\\x=4$

Отметим корень на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$---[4]+++$

Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

⇒ функция убывает на промежутке (-∞; 4],

функция возрастает на промежутке [4; +∞)

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти проміжок зростання функції $y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, спершу знайдемо похідну цієї функції та знайдемо її нулі. Похідна функції $y$ виглядає наступним чином:

$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2 - 4x + 1\right)$

Для обчислення похідної, застосуємо правила похідних:

$y' = \frac{1}{2} \cdot 2x - 4 = x - 4$

Тепер знайдемо нулі похідної, розв'язавши рівняння $x - 4 = 0$:

$x - 4 = 0$ $x = 4$

Отже, похідна $y'$ дорівнює нулю при $x = 4$.

Тепер, щоб знайти проміжок зростання функції $y$, давайте розглянемо інтервали між цим нулем і розглянемо знак похідної в цих інтервалах.

1. Якщо $x < 4$, то $x - 4 < 0$, отже, $y' < 0$ у цьому інтервалі. Це означає, що функція $y$ спада на цьому інтервалі.

2. Якщо $x > 4$, то $x - 4 > 0$, отже, $y' > 0$ у цьому інтервалі. Це означає, що функція $y$ зростає на цьому інтервалі.

Отже, функція $y$ зростає на інтервалі $(4, +\infty)$.