Question

Доказать по определению что число не является пределом последовательности хn если

Answer 1

Первое способ

Обратите внимание, что $(-1)^n$ равно $1$ для четных $n$ и $-1$ для нечетных $n$. Значит, $1 + (-1)^n$ равно $2$ для четных $n$ и $1$ для нечетных $n$. Следовательно, если $a_n = 1 + (-1)^n$, то $a_{2n} = 2$ и $a_{2n+1} = 0$. Поскольку подпоследовательности имеют разные пределы ($\lim a_{2n} = 2$ и $\lim a_{2n+1} = 0$), предел $\lim a_n$ не существует

Второй способ

Поскольку последовательность принимает только два значения $0$ и $2$, можно заметить, что любое значение, кроме этих двух, не может быть пределом. Предполагая $l=0$ и беря $\varepsilon < 2$, мы видим, что предел не может существовать, так как $|x_n-x_{n+1}|=2 > \varepsilon$. Аналогично для $l=2$

Третий способ

$(-1)^n=e^{i\pi n}=\cos(n\pi)+i\sin(n\pi)$

Можно видеть, что пределы $\lim_{n\to\infty} \cos(n\pi)$ и $\lim_{n\to\infty}i\sin(n\pi)$ принимают разные значения, а значит предел от нашей последовательности не существует

Четвёртый способ

Давайте от последовательности уйдём к функциям, то есть немного расширим наши возможности. Предполагая, что мы хотим работать с действительными числами, мы можем сказать, что область определения функции — это множество

$\left\{x\in\mathbb{Q}:x=\frac{r}{s}, s > 0, \text{ s odd}\right\}$

Это довольно большое множество, и оно содержит все натуральные числа; однако

$\lim_{n\to\infty}(-1)^{2n}=1,\qquad\lim_{n\to\infty}(-1)^{2n+1}=-1,$

Видим, что получаем два разных предела, при чётных $n$ и нечётных, а значит предела не существует

Answer 2

Для доказательства, что число не является пределом последовательности {x_n} по определению предела, мы должны использовать определение предела последовательности.

Определение: Число L является пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε (эпсилон), существует такой номер N (натуральное число), что для всех n > N выполняется неравенство |x_n - L| < ε.

То есть, пределом последовательности является число L, если для любого положительного ε, можно найти такой номер N, что все члены последовательности с номерами больше N будут находиться в ε-окрестности числа L.

Теперь, чтобы доказать, что число не является пределом последовательности {x_n}, вам нужно найти такое положительное число ε, для которого не существует номера N, такого, что |x_n - L| < ε для всех n > N.

Пример: Пусть у нас есть последовательность {x_n} = {1/n}. Давайте рассмотрим число L = 0. Мы хотим доказать, что L = 0 не является пределом этой последовательности.

Возьмем ε = 1/2. Теперь мы должны показать, что не существует такого номера N, для которого |x_n - 0| < 1/2 для всех n > N.

Однако, если мы выберем n = 2, то |x_2 - 0| = 1/2, что больше ε = 1/2. Это означает, что для любого N, какой бы большой он ни был, найдется член последовательности x_n = 1/n (где n = 2) такой, что |x_n - 0| > 1/2. Таким образом, L = 0 не является пределом последовательности {1/n}.

В данном примере мы нашли ε, для которого не существует N, что подтверждает, что число 0 не является пределом этой последовательности.