Question

Срочно! Докажите, что 7(n-oe) - 1 делится на 48 при любом чётном n.

Answer 1

Ответ:

чтд

Объяснение:

$7^{2n} - 1 = 49^{n} - 1$ а это сравнимо с нулем по модулю 48

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение по индукции.

1. База индукции: Пусть n = 2. Тогда выражение становится 7(2 - 1) - 1 = 7 - 1 = 6. 6 делится на 48, так как 6 = 1 * 48. База индукции верна.

2. Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого четного числа k, то есть 7(k - 1) - 1 делится на 48.

3. Теперь докажем, что оно также верно для числа k + 2 (следующего четного числа).

   7(k + 2 - 1) - 1 = 7(k + 1) - 1 = (7k + 7) - 1 = 7k + 6.

   Мы знаем из предположения индукции, что 7(k - 1) - 1 делится на 48, поэтому оно равно 48m для некоторого целого числа m. Таким образом, мы можем записать:

   7k + 6 = 48m + 6 = 6(8m + 1).

   Мы видим, что 7k + 6 делится на 6. Теперь нам нужно показать, что оно также делится на 8.

   Так как 7k + 6 делится на 6, то 7k + 6 = 6n для некоторого целого числа n.

   Теперь, давайте представим n в виде n = 3q + r, где q - это частное от деления n на 3, а r - остаток от этого деления (r может быть 0, 1 или 2).

   Тогда 7k + 6 = 6(3q + r) = 18q + 6r.

   Мы видим, что 18q делится на 8, так как 18 делится на 8. Теперь нам нужно убедиться, что 6r также делится на 8. Это верно, так как r может быть 0, 1 или 2, и в любом случае 6r делится на 8.

Таким образом, мы показали, что 7(k + 2 - 1) - 1 делится и на 6, и на 8. По определению, оно также делится на 48.

Итак, мы доказали утверждение для базы индукции и показали, что если оно верно для некоторого k, то оно также верно для k + 2. Следовательно, оно верно для всех четных n, и тем самым утверждение доказано для всех четных n.