Question

Розв'яжіть рівняння методом розкладання на множники cos7x+cosx=0 sin7x=sinx

Answer 1

1)2cos4xcos3x=0
cos4x=0⇒4x=π/2+πn⇒x=π/8+πn/4
cos3x=0⇒3x=π/2+πn⇒x=π/6+πn/3
2)sin7x-sinx=0
2sin3xcos4x=0
sin3x=0⇒3x=πn⇒x=πn/3
cos4x=0⇒4x=π/2+πn⇒x=π/8+πn/4

Answer 2

Давайте спершу розглянемо рівняння cos(7x) + cos(x) = 0:

1. Спростимо це рівняння, використовуючи тригонометричні тотожності: cos(7x) + cos(x) = 2cos(4x)cos(3x) + 2cos^2(x) - 1 = 0

2. Замінимо cos(3x) на (4cos^3(x) - 3cos(x)) (формула потрійного кута для косинуса): 2cos(4x)(4cos^3(x) - 3cos(x)) + 2cos^2(x) - 1 = 0

3. Поділімо обидві сторони на 2cos(x) (помножимо на cos(x) обидві сторони): 4cos(4x)(2cos^2(x) - 3) + 2cos(x)cos^2(x) - cos(x) = 0

4. Спростимо далі: 8cos(4x)cos^2(x) - 12cos(4x) + 2cos^3(x)cos(x) - cos(x) = 0

5. Згрупуємо подібні елементи: 8cos(4x)cos^2(x) + (2cos^3(x) - 12cos(4x) - cos(x)) = 0

6. Розкладемо 2cos^3(x) - 12cos(4x) - cos(x) на множники: 2(cos(x))(cos^2(x) - 6cos(4x) - 1) = 0

Зараз ми маємо два рівняння:

1. 2cos(x) = 0 дає cos(x) = 0.
2. cos^2(x) - 6cos(4x) - 1 = 0 – це більш складне рівняння.

Далі розглянемо рівняння sin(7x) = sin(x):

1. Використовуючи формулу синуса для різниці кутів, ми можемо записати: sin(7x) - sin(x) = 0

2. Застосуємо формулу синуса для різниці кутів: 2sin(3x)cos(4x) - sin(x) = 0

3. Розкладемо 2sin(3x)cos(4x) на множники: 2sin(x)(3 - 4sin^2(x))cos(x) - sin(x) = 0

4. Згрупуємо подібні елементи: 2sin(x)[(3 - 4sin^2(x))cos(x) - 1] = 0

Знову маємо два рівняння:

1. 2sin(x) = 0 дає sin(x) = 0.
2. (3 - 4sin^2(x))cos(x) - 1 = 0 – це більш складне рівняння.

Тепер ми маємо чотири можливі рішення:

1. cos(x) = 0
2. sin(x) = 0
3. cos^2(x) - 6cos(4x) - 1 = 0
4. (3 - 4sin^2(x))cos(x) - 1 = 0

Для кожного з цих рівнянь можна знайти значення x. Вам може знадобитися числовий аналіз або використання тригонометричних ідентичностей, щоб розв'язати їх.