Question

Найти f'(0где f(x) =x/корень из 1-x2

Answer 1

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\\\f'(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}+\frac{x*2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=\frac{\frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac{3}2}\\\\f'(0)=(1)^{-\frac{3}2}=1$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = x / √(1 - x^2) в точке x = 0, можно воспользоваться правилом дифференцирования квоцентов.

Для начала, выразим функцию f(x) в более удобной форме:

f(x) = x / √(1 - x^2) = x(1 - x^2)^(-1/2)

Теперь мы можем применить правило дифференцирования квоцентов, которое гласит:

(f/g)' = (f'g - fg') / g^2

где f' - производная числителя, g' - производная знаменателя.

В данном случае:

f(x) = x g(x) = (1 - x^2)^(-1/2)

Теперь найдем производные:

f'(x) = 1 (производная x по x) g'(x) = (1/2)(1 - x^2)^(-3/2)(-2x) = -x / (1 - x^2)^(3/2)

Теперь мы можем использовать правило дифференцирования квоцентов:

(f/g)' = (f'g - fg') / g^2 = (1 * (1 - x^2)^(-1/2) - x * (-x / (1 - x^2)^(3/2))) / (1 - x^2)

(f/g)' = ((1 - x^2)^(-1/2) + x^2 / (1 - x^2)^(3/2)) / (1 - x^2)

Теперь подставим x = 0, чтобы найти производную в точке x = 0:

(f/g)'(0) = ((1 - 0^2)^(-1/2) + 0^2 / (1 - 0^2)^(3/2)) / (1 - 0^2)

(f/g)'(0) = (1 - 0) / 1 = 1

Итак, производная функции f(x) = x / √(1 - x^2) в точке x = 0 равна 1.