Question

Решить дифференциальное уравнение xy'+2xy-1=0

Answer 1

Разделим обе части уравнения на x
$y'+2y= \frac{1}{x}$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, линейное и неоднородное.
Пусть  $y=uv$ тогда  $y'=u'v+uv'$
$u(2v+v') + u'v= \frac{1}{x}$

1) предполагаем что первое слагаемое равен нулю
$2v+v'=0$
А это уравнение с разделяющимися переменными, то есть, проинтегрируем обе части уравнения, получим
$v=e^{-2x}$

2)  $\displaystyle u'v=\frac{1}{x}\\ u'e^{-2x}=\frac{1}{x}\\ \\ u= \int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C$

Обратная замена

$\displaystyle y=uv=e^{-2x}\bigg(\int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C\bigg)$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

$xy' + 2xy - 1 = 0$

Сначала перепишем уравнение в стандартной форме для линейного дифференциального уравнения первого порядка:

$y' + 2y - \frac{1}{x} = 0$

Теперь воспользуемся методом интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель это такая функция $\mu(x)$, которая удовлетворяет уравнению:

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$

где $P(x)$ - коэффициент перед $y$ в исходном уравнении.

В данном случае $P(x) = 2$, поэтому:

$\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$

Умножим обе части уравнения на $\mu(x)$:

$e^{2x}y' + 2e^{2x}y - e^{2x}\frac{1}{x} = 0$

Теперь заметим, что левая часть является производной произведения $(e^{2x}y)$, используя правило производной произведения:

$(e^{2x}y)' = e^{2x}y' + 2e^{2x}y$

Используя это, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

$(e^{2x}y)' - e^{2x}\frac{1}{x} = 0$

Интегрируем обе части по $x$:

$e^{2x}y - \int e^{2x}\frac{1}{x} dx = C$

Теперь решим интеграл:

$e^{2x}y - \int e^{2x}\frac{1}{x} dx = C$

Для интеграла $\int e^{2x}\frac{1}{x} dx$ нет элементарного выражения в терминах стандартных функций, поэтому оставим его в таком виде. Константу $C$ тоже оставим в общем виде.

Итак, окончательное решение имеет вид:

$e^{2x}y - \int e^{2x}\frac{1}{x} dx = C$

Это является общим решением данного дифференциального уравнения.