Question

Решите уравнения пожалуйста прошууу ... 1) 3cos2x+4+11sinx= 0 2) 1-8cosx=6 cos 2x

Answer 1

$3cos2x+4+11sinx = 0 \\ 3(1 - 2sin^{2}x) +4+11sinx = 0 \\ 3 - 6sin^{2}x+4+11sinx = 0 \\ - 6sin^{2}x+11sinx+7 = 0 \\ 6sin^{2}x-11sinx-7 = 0 \\ D = 121 + 4*6*7 = 121 + 168 = 289 = 17^{2} \\ sinx = \frac{11 + 17}{12} = \frac{28}{12}$
(невозможно , т.к. | sin x | ≤ 1)
или
$sinx = \frac{11 - 17}{12} = \frac{-6}{12} = - \frac{1}{2}\\ x=(-1)^{n}(-\frac{\pi }{6})+\pi n,$  где  n ∈ Z.
$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,$где  n ∈ Z.

Answer 2

Давайте решим оба уравнения по порядку.

1. Уравнение 3cos(2x) + 4 + 11sin(x) = 0:

Давайте сначала преобразуем уравнение, чтобы избавиться от смешанных тригонометрических функций. Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому давайте заменим cos(2x) в уравнении:

3(2cos^2(x) - 1) + 4 + 11sin(x) = 0

Теперь давайте преобразуем это уравнение:

6cos^2(x) - 3 + 4 + 11sin(x) = 0

6cos^2(x) + 11sin(x) + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x) и sin(x), и мы можем использовать метод замены переменных, чтобы решить его. Давайте заменим sin(x) = t:

6cos^2(x) + 11t + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно t. Решение квадратных уравнений вида At^2 + Bt + C = 0 можно найти, используя дискриминант:

Дискриминант (D) = B^2 - 4AC

В нашем случае:

A = 6, B = 11, C = 1

D = 11^2 - 4 * 6 * 1 = 121 - 24 = 97

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два действительных корня для t:

t1 = (-B + √D) / (2A) и t2 = (-B - √D) / (2A)

t1 = (-11 + √97) / (2 * 6) ≈ -0.853

t2 = (-11 - √97) / (2 * 6) ≈ -1.315

Теперь, мы знаем, что sin(x) = t, поэтому давайте найдем два значения для sin(x):

sin(x) = -0.853 и sin(x) = -1.315

Однако синус может быть в диапазоне от -1 до 1, поэтому второй корень sin(x) = -1.315 не имеет физического смысла.

Теперь, найдем значения для cos(x) соответствующие первому корню sin(x):

cos(x) = √(1 - sin^2(x)) = √(1 - (-0.853)^2) ≈ 0.522

Итак, первое решение уравнения 3cos(2x) + 4 + 11sin(x) = 0:

x = arcsin(-0.853) и x = arccos(0.522)

2. Уравнение 1 - 8cos(x) = 6cos(2x):

Сначала преобразуем уравнение:

6cos(2x) = 1 - 8cos(x)

Теперь заменим cos(2x) на 2cos^2(x) - 1, как мы делали в первом уравнении:

6(2cos^2(x) - 1) = 1 - 8cos(x)

12cos^2(x) - 6 - 1 + 8cos(x) = 0

12cos^2(x) + 8cos(x) - 7 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Мы можем решить его, используя дискриминант:

A = 12, B = 8, C = -7

D = B^2 - 4AC

D = 8^2 - 4 * 12 * (-7) = 64 + 336 = 400

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два действительных корня для cos(x):

cos(x) = (-B + √D) / (2A) и cos(x) = (-B - √D) / (2A)

cos(x) = (-8 + √400) / (2 * 12) ≈ 0.5

cos(x) = (-8 - √400) / (2 * 12) ≈ -0.583

Итак, у нас есть два значения для cos(x):

cos(x) ≈ 0.5 и cos(x) ≈ -0.583

Теперь, чтобы найти соответствующие значения для x, мы можем использовать арккосинус:

x1 = arccos(0.5) и x2 = arccos(-0.583)

Пожалуйста, обратите внимание, что значения x будут в диапазоне от 0 до 2π (или от 0 до 360 градусов), так как они относятся к тригонометрической функции cos(x).