Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции: F(x)=2x-1/x²

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции F(x) = 2x - 1/x^2 сначала найдем производную этой функции. Затем мы будем искать, когда производная положительна (функция возрастает) и когда она отрицательна (функция убывает). Давайте начнем с вычисления производной:

F(x) = 2x - 1/x^2

F'(x) = d/dx [2x] - d/dx [1/x^2] F'(x) = 2 - (-2/x^3) F'(x) = 2 + 2/x^3

Теперь мы можем определить, когда производная положительна и когда она отрицательна:

1. F'(x) > 0: Это означает, что функция возрастает. 2 + 2/x^3 > 0

Чтобы найти промежутки возрастания, решим неравенство:

2 + 2/x^3 > 0

Сначала вычтем 2 из обеих сторон:

2/x^3 > -2

Затем перепишем неравенство с общим знаменателем:

(2/x^3) / 2 > (-2) / 2

1/x^3 > -1

Теперь возьмем обратную величину с обеих сторон:

x^3 < -1

Так как x^3 всегда неотрицательно, у нас нет действительных чисел, которые удовлетворяют этому неравенству. Следовательно, функция F(x) не имеет промежутков возрастания.

3. F'(x) < 0: Это означает, что функция убывает.

2 + 2/x^3 < 0

Теперь решим это неравенство:

2/x^3 < -2

Деление обеих сторон на 2:

1/x^3 < -1

Возьмем обратную величину:

x^3 > 1

Для определения промежутков убывания рассмотрим интервалы, где x^3 > 1. Корень кубический из 1 равен 1, поэтому нам нужны x, которые больше 1. Функция убывает на интервале (1, +∞).

Итак, функция F(x) = 2x - 1/x^2 возрастает на пустом множестве и убывает на интервале (1, +∞).