Question

Пользуясь определением производной,найдите производную функции f в точке х: а) f(x)=4-7x б) f(x)=3/x

Answer 1

a)
f'(x) = 0 - 7 = -7

б)
f'(x) = (3*x^(-1))' = 3*(-1)*x^(-1-1) = -3*x^(-2) = -3/x^2

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций с использованием определения производной.

a) Функция f(x) = 4 - 7x:

Производная функции f(x) в точке x находится по определению производной:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

В данном случае:

f(x) = 4 - 7x

Теперь вычислим производную:

f'(x) = lim (h -> 0) [4 - 7(x + h) - (4 - 7x)] / h f'(x) = lim (h -> 0) [-7h / h]

Сокращаем h:

f'(x) = lim (h -> 0) [-7]

Так как h стремится к нулю, производная f(x) в точке x равна -7.

b) Функция f(x) = 3/x:

Аналогично, найдем производную функции f(x) в точке x:

f(x) = 3/x

f'(x) = lim (h -> 0) [3/(x + h) - 3/x] / h

Для упрощения дроби, найдем общий знаменатель:

f'(x) = lim (h -> 0) [3x - 3(x + h)] / (hx(x + h))

Раскрываем скобки:

f'(x) = lim (h -> 0) [3x - 3x - 3h] / (hx^2 + hx^2)

f'(x) = lim (h -> 0) [-3h] / (2hx^2)

Сокращаем h:

f'(x) = lim (h -> 0) [-3] / (2x^2)

Так как h стремится к нулю, производная f(x) в точке x равна:

f'(x) = -3 / (2x^2)

Итак, производная функции f(x) = 3/x в точке x равна -3 / (2x^2).