Question

Дана функция f(x)= 2x^3-3x^2+2. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1]

Answer 1

F(x)=2x^3-3x^2+2
f'(x) = 6x^2-6x = 6x(x-1) = 0
x1 = 0; f(0) = 2 - это максимум
x2 = 1; f(1) = 2-3+2 = 1 - это минимум.
От -oo до 0 функция возрастает.
От 0 до 1 она убывает.
От 1 до +oo опять возрастает.
На отрезке [-1; 1]
f(-1) = -2-3+2 = -3 наименьшее
f(0) = 2 наибольшее

Answer 2

Решение во вложении ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

Answer 3

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f'(x).
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки.
3. Используйте тестирование производных, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции.

Теперь начнем с первого шага:

а) Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 + 2)

Чтобы найти производную, мы используем степенное правило и правило константы:

f'(x) = 6x^2 - 6x

Теперь переходим ко второму шагу:

б) Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки:

6x^2 - 6x = 0

Факторизуем:

6x(x - 1) = 0

И находим значения x:

1. 6x = 0 => x = 0
2. x - 1 = 0 => x = 1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 1.

Теперь перейдем к третьему шагу:

в) Используем тестирование производных, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции. Для этого выберем тестовую точку в каждом из интервалов, образованных критическими точками (x < 0, 0 < x < 1, x > 1).

1. Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1 (любую точку слева от x = 0): f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 (положительное значение). Таким образом, на этом интервале функция возрастает.

2. Для интервала (0, 1) возьмем x = 0.5 (любую точку между 0 и 1): f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 (отрицательное значение). Значит, на этом интервале функция убывает.

3. Для интервала (1, ∞) возьмем x = 2 (любую точку справа от x = 1): f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 (положительное значение). Таким образом, на этом интервале функция возрастает.

Итак, мы определили промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция f(x) возрастает на интервалах (-∞, 0) и (1, ∞).
• Функция f(x) убывает на интервале (0, 1).

б) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1], нам нужно также рассмотреть значения функции в критических точках и на границах этого отрезка.

1. f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -2 - 3 + 2 = -3 (минимальное значение на отрезке).
2. f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 (максимальное значение на отрезке).
3. f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 2 = 2 - 3 + 2 = 1.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-1;1] равно -3, а наибольшее значение равно 2.