Question

Найти монотонность функции f(x)=(x^2-3x)/(x-4)

Answer 1

Чтобы найти монотонность функции нужно:
1) найти производную
2) приравнять производную к нулю
3) корни, которые найдешь отметить на числовой прямой( не забыть что х в твоем не случае не равняется 4, иначе делить на 0 получим)
4) поставлять числа в твою производную, которые  между корнями. Если отрицательное значение получил, значит функция убывает, если положительное-возрастает

Answer 2

F (×) =(×^2-3×)/(×-4)
f'(x)= ((2×-3)*(×-4)-(×^2-3×)*1)/(×-4)^2=(2×^2-8×-3×+12-×^2+3×)/(×-4)^2=(×^2-8×+12)/(×-4)^2
(×^2-8×+12)/(×-4)^2=0
Числитель равен нулю ,знаминатель не равен нулю.
×^2-8×+12=0 (×-4)^2 не= 0
по т Виета. ×-4 не= 0
×1=6 ×2=2 ×=4 кратный корень
f'(×) + - - +
_________•_______._________•________
2 4 6
возраст. убыв. убыв. возраст.
2 и 6 закрашенные точки, а 4 выколотая тч
f (×) возраст. , × э (-бесконечности; 2] U [6;+бесконечности)
f (×) убыв. , × э [2;4) U (4;6]

Answer 3

Чтобы найти монотонность функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}$, мы можем проанализировать производные функции и интервалы, на которых они положительны или отрицательны.

1. Начнем с вычисления производной $f'(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 3x}{x - 4} \right)$

Для упрощения дроби можно воспользоваться правилом деления производной:

$f'(x) = \frac{(x - 4) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 3x) - (x^2 - 3x) \cdot \frac{d}{dx}(x - 4)}{(x - 4)^2}$

Вычисляем производные:

$f'(x) = \frac{(x - 4)(2x - 3) - (x^2 - 3x)}{(x - 4)^2}$

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

$0 = (x - 4)(2x - 3) - (x^2 - 3x)$

Раскроем скобки:

$0 = 2x^2 - 3x - 8x + 12 - x^2 + 3x$

Упростим уравнение:

$0 = x^2 - 8x + 12$

Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решения этого уравнения:

$x_1 = 2$ $x_2 = 6$

3. Теперь анализируем знак производной $f'(x)$ на интервалах:

   • $(-\infty, 2)$: Подставим произвольное значение $x$ из этого интервала, например, $x = 0$: $f'(0) = (0 - 4)(2 \cdot 0 - 3) - (0^2 - 3 \cdot 0) = (-4)(-3) - 0 = 12 > 0$ Значит, на интервале $(-\infty, 2)$ производная положительна, и функция возрастает.

   • $(2, 6)$: Подставим произвольное значение $x$ из этого интервала, например, $x = 4$: $f'(4) = (4 - 4)(2 \cdot 4 - 3) - (4^2 - 3 \cdot 4) = 0 - 0 = 0$ Значит, на интервале $(2, 6)$ производная равна нулю, и функция имеет экстремум (минимум или максимум) в точке $x = 4$.

   • $(6, \infty)$: Подставим произвольное значение $x$ из этого интервала, например, $x = 7$: $f'(7) = (7 - 4)(2 \cdot 7 - 3) - (7^2 - 3 \cdot 7) = 3 \cdot 11 - 21 = 33 - 21 = 12 > 0$ Значит, на интервале $(6, \infty)$ производная положительна, и функция возрастает.

Итак, функция $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}$ монотонно возрастает на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(6, \infty)$, и имеет экстремум в точке $x = 4$.