Question

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM, BL, CK. Найдите отношение площадей треугольников KLM и ABC, если AB=2 AC=4 BC=5

Answer 1

По теореме косинусов найдем косинус угла A:
$\cos A = \frac{25-4-16}{-16}= -\frac{5}{16}$; Тогда синус этого угла равен  $\frac{\sqrt{231}}{16}$;
Угол B:  $\cos B = \frac{16-4-25}{-20}= \frac{13}{20}$; Синус этого угла:
$\frac{\sqrt{231}}{20}$
Угол C:  $\cos C = \frac{4-25-16}{-40}= \frac{37}{40}$; Синус этого угла:
$\frac{ \sqrt{231} }{40}$;
Теперь найдем по порядку площади трех треугольников KBM, MLC, AKL:
Но прежде, по свойству биссектрис определим, что AK=8/9, BK = 10/9, BM = 5/3, MC = 10/3, LC = 20/7, AL = 8/7;
Треугольник AKL:  $S= \frac{1}{2}\times \frac{8}{9}\times \frac{8}{7}\times \frac{\sqrt{231}}{16}= \frac{2 \sqrt{231}}{63}$
Треугольник MLC:  $S=\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}\times \frac{10}{3}\times \frac{ \sqrt{231} }{40}= \frac{5 \sqrt{231}}{42}$
Треугольник MBK:  $S=\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}\times \frac{10}{9}\times \frac{\sqrt{231}}{20} = \frac{5 \sqrt{231}}{108}$
Если из площади треугольника ABC вычесть сумму трех найденных площадей, то мы найдем площадь треугольника MKL; Пусть сумма трех площадей равна N; Тогда:  $\frac{S_{abc}-N}{S_{abc}}=1- \frac{N}{S_{abc}}$ - полученный результат и есть искомое соотношение. Найдем  $S_{abc}$: по формуле Герона получаем  $S_{abc}= \frac{\sqrt{231}}{4}$;  $N= \frac{149 \sqrt{231}}{756}$; Итак, искомое отношение равно:  $\frac{S_{kml}}{S_{abc}}=1- \frac{\frac{149 \sqrt{231}}{756}}{\frac{\sqrt{231}}{4}} =1- \frac{149}{189}= \frac{40}{89}$

Answer 2

Для нахождения отношения площадей треугольников KLM и ABC, мы можем использовать следующий факт: биссектрисы треугольника делят его на два подобных треугольника.

Сначала найдем длины биссектрис треугольника ABC. Для этого используем формулу для длины биссектрисы в треугольнике:

BL = (2AC * BC) / (AB + AC) = (2 * 4 * 5) / (2 + 4) = (40) / 6 = 20 / 3

AM = (AB * BC) / (AB + AC) = (2 * 5) / (2 + 4) = 10 / 6 = 5 / 3

CK = (AC * AB) / (AB + BC) = (4 * 2) / (2 + 5) = 8 / 7

Теперь мы можем рассмотреть треугольники KLM и ABC:

1. Треугольник ABC имеет площадь, равную половине произведения его сторон и синуса угла между ними:

Площадь ABC = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC)

Треугольник KLM подобен треугольнику ABC, и соответственно, отношение площадей равно отношению квадратов длин соответствующих сторон:

Отношение площадей KLM и ABC = (KL^2) / (AB^2) = ((20 / 3)^2) / (2^2) = (400 / 9) / 4 = 100 / 9

Ответ: Отношение площадей треугольников KLM и ABC равно 100/9.