Question

відомо що для будь якого натурального числа n сума Sn перших n членів деякої арифметичної прогресії виражається формулою Sn=2n2+n. Знайдіть перший член прогресії та її різницю

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для знаходження першого члена (a₁) та різниці (d) арифметичної прогресії, яка визначена формулою Sn=2n^2+n, ми можемо використовувати наступні відомості:

1. Сума Sn перших n членів прогресії: Sn=2n^2+n.
2. Загальна формула для суми Sn арифметичної прогресії: Sn=n/2[2a₁+(n-1)d], де a₁ - перший член, d - різниця.

Порівнюючи обидві формули, ми можемо знайти a₁ і d.

З формули Sn=2n^2+n маємо: 2n^2+n=n/2[2a₁+(n-1)d].

Зберемо підіконки та спростимо: 2n^2+n=2a₁n+(n(n-1)d/2).

Тепер виразимо a₁: 2a₁n=2n^2+n-(n(n-1)d/2), 2a₁n=(2n^2+n-n(n-1)d/2), 2a₁n=(2n^2+n-(n^2-nd)/2).

Розкриємо дужки: 2a₁n=2n^2+n-(n^2-nd)/2, 2a₁n=2n^2+n-((n^2-nd)/2).

Спростимо: 2a₁n=2n^2+n-n^2+nd/2, 2a₁n=n^2+n+nd/2.

Тепер виразимо a₁, поділивши обидва боки на 2n: a₁=(n^2+n+nd/2)/(2n).

Тепер ми можемо знайти a₁ та d, використовуючи цю формулу.