Question

Докажите, что при всех натуральных n число (n-1)n(n+1)(n+2)+1 является квадратом целого числа.

Answer 1

(n-1)n(n+1)(n+2)+1=n(n+1) (n-1)(n+2)+1=
=(n²+n)(n²+n-2)+1= (n²+n)²-2(n²+n)+1=
=(n²+n-1)²
что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай

При n = 1: (1-1) * 1 * (1+1) * (1+2) + 1 = 0 * 1 * 2 * 3 + 1 = 1.

1 - это квадрат целого числа (1^2), поэтому базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции

Допустим, что для некоторого натурального числа k утверждение верно: k(k-1)(k+1)(k+2) + 1 является квадратом целого числа.

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1.

Рассмотрим выражение для k+1: (k+1)k(k+2)(k+3) + 1.

Раскроем скобки: (k+1)k(k+2)(k+3) + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + k(k+1) + 1.

Теперь воспользуемся предположением индукции: k(k-1)(k+1)(k+2) + 1 является квадратом целого числа. Обозначим его как m^2, где m - некоторое целое число: k(k-1)(k+1)(k+2) + 1 = m^2.

Теперь подставим это в выражение для (k+1): k(k+1)(k+2)(k+3) + k(k+1) + 1 = m^2 + k(k+1) + 1.

Мы видим, что это выражение представляется в виде суммы m^2 и некоторого другого целого числа k(k+1) + 1. Мы можем представить k(k+1) + 1 как (k(k+1) + 1)^2 - (k(k+1))^2. Теперь выразим исходное выражение следующим образом: m^2 + (k(k+1) + 1)^2 - (k(k+1))^2.

Теперь мы видим, что это выражение является разностью двух квадратов: m^2 + (k(k+1) + 1)^2 - (k(k+1))^2 = [m + (k(k+1) + 1)][m - (k(k+1) + 1)].

Оба множителя в квадратных скобках являются целыми числами, поэтому это выражение также является квадратом целого числа.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k+1. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, доказано, что для всех натуральных n число (n-1)n(n+1)(n+2)+1 является квадратом целого числа.