Question

В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2,меньшая его сторона равна 5. Найдите диагональ данного прямоугольника

Answer 1

Внутренний угол в прямоугольнике
<АВС =90°
раз диагональ делит его в отношении 1:2
то эти углы 30° и 60°


<CBD=<BDA=30° ( так как AD||BC )


Рассмотрим ∆ABD

в нем катет AB, лежащий против угла 30°
равен половине гипотенузы BD, поэтому

BD=2*АВ=2*5=10

а гипотенуза BD и есть диагональ прямоугольника



Ответ 10

Answer 2

Пусть $AB$ и $AC$ — стороны прямоугольника, а $BD$ — его диагональ, где $BD$ — меньшая сторона. Также, пусть $BD = 5$ (меньшая сторона прямоугольника).

Из условия известно, что диагональ $BD$ делит угол прямоугольника в отношении 1:2. Пусть угол $BDC$ равен $2x$ и угол $DBC$ равен $x$.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. Из того, что диагональ делит угол в отношении 1:2:

   $$\frac{BC}{CD} = \frac{1}{2}$$

2. Из пропорции треугольников $BCD$ и $ABD$:

   $$\frac{AB}{BD} = \frac{CD}{BD}$$

Из условия $BD = 5$, поэтому $AB = 2 \times 5 = 10$.

Теперь можем записать уравнения:

1. $\frac{BC}{CD} = \frac{1}{2}$
2. $\frac{10}{5} = \frac{CD}{5}$

Решим эти уравнения. Из уравнения 2 получаем, что $CD = 5$. Затем, из уравнения 1, находим $BC$:

$$\frac{BC}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow BC = \frac{5}{2}$$

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника $ABC$, можем найти диагональ $AC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

$$AC^2 = 10^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2$$

$$AC^2 = 100 + \frac{25}{4}$$

$$AC^2 = \frac{400}{4} + \frac{25}{4}$$

$$AC^2 = \frac{425}{4}$$

И, наконец, $AC$ (диагональ прямоугольника) равна:

$$AC = \sqrt{\frac{425}{4}} = \frac{\sqrt{425}}{2} \approx 10.31$$