Question

Розкласти на множники х⁴ + х² + 1

Answer 1

Ответ на рисунке......

Answer 2

Щоб розкласти вираз $x^4 + x^2 + 1$ на множники, спробуємо використати метод субституції. Спробуємо підставити $u = x^2$, тоді вираз $x^4 + x^2 + 1$ стане $u^2 + u + 1$.

Тепер ми можемо спробувати розкласти вираз $u^2 + u + 1$ на множники. Для цього можемо використовувати квадратний тричлен. Спробуємо знайти два числа $a$ і $b$ такі, що $u^2 + u + 1 = (u + a)^2 + b$.

Розкладемо квадрат $u^2 + u + 1$: $(u + a)^2 = u^2 + 2au + a^2$.

Тепер порівнюємо коефіцієнти при виразах $u^2$, $u$ і вільному члені:

1. Коефіцієнт при $u^2$ у $u^2 + 2au + a^2$ дорівнює 1.
2. Коефіцієнт при $u$ у $u^2 + 2au + a^2$ дорівнює 1.
3. Вільний член у $u^2 + 2au + a^2$ дорівнює $a^2$.

Тепер ми хочемо, щоб вільний член у розкладі $u^2 + u + 1$ був також 1. Тобто $a^2 = 1$. Це можливо, якщо $a = 1$ або $a = -1$.

Якщо $a = 1$, то $u^2 + u + 1 = (u + 1)^2$. Якщо $a = -1$, то $u^2 + u + 1 = (u - 1)^2$.

Отже, ми маємо два можливих розклади:

1. $u^2 + u + 1 = (u + 1)^2$
2. $u^2 + u + 1 = (u - 1)^2$

Тепер повертаємося до виразу в змінних $x$:

1. Якщо $u^2 + u + 1 = (u + 1)^2$, то $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$.

2. Якщо $u^2 + u + 1 = (u - 1)^2$, то $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.

Отже, вираз $x^4 + x^2 + 1$ може бути розкладений на множники як $(x^2 + 1)^2$ або $(x^2 - 1)^2$.