Question

СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА!!!!!найти площадь фигуры, ограниченной линиями:y=-x^2+4, y=x^2-2x

Answer 1

$y=-x^2+4\; ,\; \; y=x^2-2x\\\\Tochki\; peresecheniya:\\\\-x^2+4=x^2-2x\; \; \to \; \; 2x^2-2x-4=0\; ,\; \; x^2-x-2=0\; ,\\\\x_1=-1\; ,\; x_2=2\; \; (teorema\; Vieta)\\\\S=\int\limits^2_{-1}\, \Big ((-x^2+4)-(x^2-2x)\Big )dx=\int\limits^2_{-1}\, (-2x^2+2x+4)\, dx=\\\\=(-2\cdot \frac{x^3}{3}+x^2+4x)\Big |_{-1}^2=-\frac{2}{3}\cdot 8+4+8-(\frac{2}{3}+1-4)=9$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми $y = -x^2 + 4$ и $y = x^2 - 2x$, вам нужно сначала найти точки их пересечения, а затем интегрировать разницу между ними по оси x. Площадь между двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$ на отрезке [a, b] вычисляется следующим образом:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$

Давайте найдем точки пересечения:

$y = -x^2 + 4$ и $y = x^2 - 2x$

Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти два уравнения:

$-x^2 + 4 = x^2 - 2x$

Переносим все члены на одну сторону:

$0 = 2x^2 - 2x - 4$

Разделим обе стороны на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения x:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где a = 1, b = -1, и c = -2. Подставим значения:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения:

1. $x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$
2. $x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Теперь мы можем найти площадь между этими двумя кривыми на отрезке от -1 до 2:

$S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 4) - (x^2 - 2x)) dx$

$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 4 - x^2 + 2x) dx$

$S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx$

Теперь выполним интегрирование:

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\right]_{-1}^{2}$

$S = \left[-\frac{2}{3}(2^3) + (2^2) + 4(2)\right] - \left[-\frac{2}{3}(-1^3) + (-1^2) + 4(-1)\right]$

$S = \left[-\frac{16}{3} + 4 + 8\right] - \left[\frac{2}{3} - 1 - 4\right]$