Question

Помогите очень прошу!!!!!!!!!Тригонометричні нерівності:1)sin(+2x)+sin(-2x) < 1. 2)2sin( -2x) ≤ - tg . 3)tg2x- ≥ 0.

Answer 1

решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Давайте розглянемо кожну із задач окремо і знайдемо їх рішення:

1. sin(2x) + sin(-2x) < 1

Спочатку звернімо увагу, що sin(-θ) = -sin(θ). Отже, наша рівність може бути переписана як:

sin(2x) - sin(2x) < 1

Тепер вираз можна спростити:

0 < 1

Ця нерівність завжди виконується для будь-якого значення x. Тобто, рішення цієї нерівності - це усі дійсні числа.

2. 2sin(-2x) ≤ -tg(x)

Зауважте, що у рівнянні з'являється tg(x). Тобто, спочатку ми мусимо визначити область значень для x, для яких tg(x) визначений. tg(x) не існує для значень, де cos(x) = 0 (бо tg(x) = sin(x) / cos(x)). Отже, область значень x - це всі значення, крім тих, для яких cos(x) = 0.

cos(x) = 0, коли x = π/2 + πk, де k - це ціле число.

Таким чином, x може бути будь-яким числом, крім π/2 + πk.

Тепер розглянемо нерівність:

2sin(-2x) ≤ -tg(x)

Спочатку перепишемо sin(-2x) як -sin(2x):

-2sin(2x) ≤ -tg(x)

Поділимо обидві сторони на -2 і поміняємо знак нерівності:

sin(2x) ≥ tg(x)

Згідно з тригонометричною ідентичністю, tg(x) = sin(x) / cos(x). Таким чином, ми можемо замінити tg(x) у нерівності:

sin(2x) ≥ sin(x) / cos(x)

Тепер поділимо обидві сторони на sin(x) і поміняємо знак нерівності:

sin(2x) / sin(x) ≥ 1 / cos(x)

Зараз можемо скористатися тригонометричною ідентичністю sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

2sin(x)cos(x) / sin(x) ≥ 1 / cos(x)

2cos(x) ≥ 1 / cos(x)

Помножимо обидві сторони на cos(x):

2cos^2(x) ≥ 1

cos^2(x) ≥ 1/2

Ця нерівність виконується, коли cos(x) належить інтервалу [-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]. Тобто:

-π/4 + 2πk ≤ x ≤ π/4 + 2πk,

де k - це ціле число, і цей інтервал не включає значення x, для яких cos(x) = 0 (тобто x = π/2 + πk).

3. tg(2x) ≥ 0

Ця нерівність виконується, коли tg(2x) не від'ємний. tg(2x) від'ємний, коли sin(2x) від'ємний, тобто коли 2x належить до інтервалу (π/2 + πk, π + πk), де k - це ціле число. Отже:

2x належить до (π/2 + πk, π + πk)

Розділимо обидві сторони на 2:

x належить до (π/4 + πk/2, π/2 + πk/2)

де k - це ціле число.

Таким чином, рішення нерівності для x - це всі значення x, які належать одному з інтервалів (π/4 + πk/2, π/2 + πk/2), де k - це ціле число.