Question

Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями: y = x² + 2x + 2, y = 6 - x²

Answer 1

Відповідь: 9

Пояснення: фото

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома функціями, спершу знайдемо точки їх перетину, а потім знайдемо площу між цими двома функціями на відрізку між цими точками.

1. Знайдемо точки перетину: Поставимо рівняння двох функцій у рівність одне одному і вирішимо його:

   x² + 2x + 2 = 6 - x²

   Перенесемо все на одну сторону рівності:

   2x² + 2x - 4 = 0

2. Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

   x² + x - 2 = 0

   (x + 2)(x - 1) = 0

   Отже, ми маємо дві точки перетину: x = -2 і x = 1.

3. Тепер обчислимо відповідні значення y для цих точок, використовуючи обидві функції:

   Для x = -2: y₁ = (-2)² + 2(-2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2

   Для x = 1: y₂ = 6 - (1)² = 6 - 1 = 5

4. Зараз ми можемо обчислити площу між цими двома функціями на відрізку від x = -2 до x = 1, використовуючи інтеграл:

   Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, де f(x) - верхня функція, g(x) - нижня функція.

   Площа = ∫[-2, 1] [(6 - x²) - (x² + 2x + 2)] dx

5. Зараз обчислимо цей інтеграл:

   Площа = ∫[-2, 1] (6 - 2x² - 2x - 2) dx

   Площа = [6x - (2/3)x³ - x² - 2x] |[-2, 1]

   Площа = [6(1) - (2/3)(1)³ - (1)² - 2(1)] - [6(-2) - (2/3)(-2)³ - (-2)² - 2(-2)]

   Площа = [6 - (2/3) - 1 - 2] - [-12 + (16/3) - 4 + 4]

   Площа = [6 - (2/3) - 1 - 2] - [-12 + (16/3) - 4 + 4]

   Площа = [5/3] - [4/3]

   Площа = (5/3) - (4/3)

   Площа = 1/3 квадратних одиниць.

Отже, площа фігури, обмеженої цими двома функціями, дорівнює 1/3 квадратних одиниць.