Question

Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями у = 9 – х 2 ; у = 0.

Answer 1

Ответ:

36

Пошаговое объяснение:

Найдем точки пересечения функций:

$9-x^2=0\\\\x^2=9\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=-3\\\\x_2=3\end{array}\right$

Таким образом, границы фигуры по оси x равны -3 и 3.

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна площади криволинейной трапеции. Найдем ее с помощью определенного интеграла:

$S=\int\limits^{3}_{-3} {(9-x^2-0)} \, dx =\int\limits^{3}_{-3} {9} \, dx - \int\limits^{3}_{-3} {x^2} \, dx =9\cdot x\bigg|_{-3}^3-\frac{x^3}{3} \bigg|_{-3}^3=\\\\\\=9\cdot (3+3)-\frac{1}{3} \cdot (3^3+3^3)=54-18=36$

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, яка обмежена цими двома лініями, потрібно знайти область між цими двома кривими та обчислити інтеграл від функції, що описує розташування цих кривих, від відповідного початку до кінця цієї області.

Спочатку знайдемо точки перетину цих двох ліній:

9 - x^2 = 0

x^2 = 9

x = ±√9

Таким чином, ми отримуємо дві точки перетину: (-3, 0) і (3, 0).

Тепер обчислимо інтеграл від функції y = 9 - x^2 від x = -3 до x = 3:

Площа = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

де f(x) = 9 - x^2 і g(x) = 0.

Площа = ∫[-3,3] (9 - x^2 - 0) dx

= ∫[-3,3] (9 - x^2) dx

= [9x - (x^3)/3] [-3,3]

= [(93 - (3^3)/3)] - [(9(-3) - ((-3)^3)/3)]

= [27 - 9] - [-27 + 9]

= 18 + 18

= 36

Таким чином, площа фігури, яка обмежена лініями у = 9 - x^2 та у = 0, дорівнює 36.