Question

Розв'яжіть рівняння 4cosx=sin2x

Answer 1

Ответ: x=pi/2+pi*n, n € Z.

Объяснение:

4cosx=2sinxcosx |:2

Переносим всё влево, этот пункт я не стану писать

cosx(2-sinx)=0.

cosx=0 или 2-sinx=0

Уравнение с синусом решений не имеет. ОДЗ [-1;1].

x=pi/2+pi*n, n €Z

Answer 2

Щоб розв'язати це рівняння, спочатку скористаємося тригонометричними тотожностями для перетворення sin(2x) у вираз, який містить лише cos(x). Згідно з тригонометричною тотожністю:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x).$

Тепер можемо замінити sin(2x) у вихідному рівнянні:

$4\cos(x) = 2\sin(x)\cos(x).$

Тепер розділимо обидві сторони на 2cos(x):

$2\cos(x) = \sin(x).$

Запишемо квадрат та квадратичні тотожності для sin(x) та cos(x):

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1,$

$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x).$

Підставимо другу формулу в перше рівняння:

$2(1 - \sin^2(x)) = \sin(x).$

Розпишемо рівняння:

$2 - 2\sin^2(x) = \sin(x).$

Переносимо всі члени рівняння на один бік:

$2\sin^2(x) + \sin(x) - 2 = 0.$

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно sin(x). Щоб його розв'язати, можемо скористатися квадратною формулою:

$\sin(x) = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A},$

де A = 2, B = 1 і C = -2. Підставимо ці значення:

$\sin(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4}.$

Розв'язавши це вираз, ми отримаємо два можливих значення sin(x). Пам'ятайте, що значення sin(x) повинно бути в межах від -1 до 1. Якщо одне або обидва з отриманих значень sin(x) не відповідають цьому діапазону, рівняння не має розв'язків. Якщо обидва значення відповідають діапазону від -1 до 1, вони є можливими розв'язками рівняння.