Question

Почему в данном примере скобка просто возводится в квадрат, а не раскладывается как квадрат разности? найдите наименьшее значение функции y= (x-10)^2(x+10)-7 на отрезке [8;18] (x-10)^2(x+10)-7=(x^2-100)*(x-10)-7 y'=(x^2-100)+(x-10)2x=(x-10)(3x+10)

Answer 1

y= (x-10)²·(x+10)-7

y=(x-10)·(x-10)·(x+10)-7

но можно перемножить выражения во второй и третьей скобках:

y=(x-10)·(x-10)·(x+10)-7

y=(x-10)·(x²-100) -7

Применяем правило вычисления производной произведения

y`=(x-10)`·(x²-100) + (х-10)·(х²-100)`=

=1·(x²-100) +(x-10)·2x=

=(x-10)·(x-10) + (x-10)·2x=

=(x-10)·(x-10+2x)=(x-10)(3x-10)

y`=0

x-10=0   или  3х-10=0

х=10    или    x=10/3

(10/3)∉[8;18]

х=10 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

В точке х=10  функция принимает наименьшее значение на [8;18]

y(10)=(10-10)^2(10+10)-7=0-7=-7

О т в е т. -7

Answer 2

Ваш вопрос касается определения экстремума функции $y = (x-10)^2(x+10) - 7$ на интервале $[8, 18]$.

Когда вы берете производную функции $y$ по $x$ и приравниваете её к нулю, чтобы найти критические точки, вы получаете:

$y' = (x-10)(3x+10)$

Критические точки $x$ равны $x = 10$ и $x = -\frac{10}{3}$.

Теперь вам нужно анализировать значения функции $y$ в этих критических точках и на концах интервала $[8, 18]$, то есть в $x = 8$ и $x = 18$.

1. $x = 8$: $y = (8-10)^2(8+10) - 7 = 4\cdot18 - 7 = 65$
2. $x = 10$: $y = (10-10)^2(10+10) - 7 = -7$
3. $x = -\frac{10}{3}$: $y = \left(-\frac{10}{3}-10\right)^2\left(-\frac{10}{3}+10\right) - 7 \approx 585.78$
4. $x = 18$: $y = (18-10)^2(18+10) - 7 = 1164$

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ на интервале $[8, 18]$ достигается в точке $x = 10$ и равно -7.