Question

Сколько нулей в записи числа 238!. (С объяснением)

Answer 1

Подсчитаем сколько приходится число 2 в факториал 238

$[\dfrac{238}{2}]+[\dfrac{238}{4}]+[\dfrac{238}{8}]+[\dfrac{238}{16}]+[\dfrac{238}{32}]+[\dfrac{238}{64}]+[\dfrac{238}{128}]=119+59+29+\\ \\ +14+7+3+1=232$

В разложении на простые множители 238! имеется ровно 232 двоек.

Теперь подсчитаем кол-во "5" в факториал 238

$[\dfrac{238}{5}]+[\dfrac{238}{25}]+[\dfrac{238}{125}]=47+9+1=57$

Всего пятерок 57 штук

$238!=2^{232}\cdot 5^{57}\cdot A=10^{57}\cdot 2^{175}\cdot A$, где А - множитель.

Ответ: 57 нулей.

Answer 2

Чтобы найти количество нулей в конце записи факториала числа, нужно определить, сколько раз число делится на 10. Поскольку 10 = 2 * 5, нам нужно найти количество пар двоек и пятерок в разложении числа на простые множители. Так как обычно количество двоек в разложении числа будет больше, чем пятерок, нас интересует количество пятерок в разложении.

Разложим 238! на простые множители:

238! = 2^a * 3^b * 5^c * ... (и так далее, где a, b, c - некоторые степени простых чисел)

Чтобы найти количество пятерок (значение c), мы можем воспользоваться формулой:

$c = \left\lfloor\frac{238}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{238}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{238}{125}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{238}{625}\right\rfloor + \ldots$

где $\left\lfloor\frac{238}{5}\right\rfloor$ - это количество чисел, делящихся на 5 в интервале от 1 до 238, $\left\lfloor\frac{238}{25}\right\rfloor$ - количество чисел, делящихся на $5^2$ (25), и так далее.

Вычислим:

$c = \left\lfloor\frac{238}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{238}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{238}{125}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{238}{625}\right\rfloor$

$= 47 + 9 + 1 + 0$

$= 57$

Таким образом, в 238! есть 57 нулей в конце записи.