Question

Limx стремится к нулю ln(1+3x^2)/x^3-5x^2

Answer 1

Воспользуемся эквивалентностью функции $\ln (1+3x^2)\sim 3x^2,~ x\to 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+3x^2)}{x^3-5x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{3x^2}{x^2(x-5)}=\lim_{x \to 0}\frac{3}{x-5}=-\frac{3}{5}$

Answer 2

Ответ и решение во вложении

Answer 3

Для вычисления предела этой функции, вы можете использовать правило Лопиталя, так как оба числителя и знаменателя стремятся к нулю, когда x стремится к нулю. Правило Лопиталя гласит, что если предел отношения двух функций f(x) и g(x) равен 0/0 (или бесконечность/бесконечность), то предел можно вычислить как предел производных этих функций:

lim(x -> 0) [ln(1 + 3x^2) / (x^3 - 5x^2)]

Производим дифференцирование числителя и знаменателя:

lim(x -> 0) [d/dx(ln(1 + 3x^2)) / d/dx(x^3 - 5x^2)]

Дифференцируем числитель и знаменатель:

Числитель: d/dx(ln(1 + 3x^2)) = (1 / (1 + 3x^2)) * d/dx(1 + 3x^2) = (1 / (1 + 3x^2)) * 6x = (6x / (1 + 3x^2))

Знаменатель: d/dx(x^3 - 5x^2) = 3x^2 - 10x

Теперь заменяем числитель и знаменатель в исходном пределе:

lim(x -> 0) [(6x / (1 + 3x^2)) / (3x^2 - 10x)]

Теперь упростим выражение, упростив числитель и знаменатель на x:

lim(x -> 0) [(6 / (1 + 3x^2)) / (3x - 10)]

Теперь вычисляем предел:

Подставим x = 0:

(6 / (1 + 0)) / (0 - 10) = 6 / (-10) = -3/5

Итак, предел функции при x, стремящемся к нулю, равен -3/5.