Question

Система уравнений 2log3 x-3 log3 y=-11 3log3 x+2log3 y=3

Answer 1

2log(3) x - 3 log(3) y = -11

3log(3) x + 2log(3) y = 3

ОДЗ x>0 y>0

умножаем первое на 2, второе на 3 и складываем

4log(3) x - 6 log(3) y = -22

9log(3) x + 6log(3) y = 9

4log(3) x - 6 log(3) y + 9log(3) x + 6log(3) y = -22 + 9

13log(3) x = -13

log(3) x = -1

x = 1/3

2*(-1) - 3log(3) y = -11

-3log(3) y = -9

log(3) y = 3

y = 27

Ответ {1/3, 27}

Answer 2

Давайте решим эту систему уравнений по методу замены. У нас есть два уравнения:

1. $2\log_3 x - 3\log_3 y = -11$
2. $3\log_3 x + 2\log_3 y = 3$

Для начала, давайте выразим одну из переменных (например, $y$) через другую, используя первое уравнение:

$2\log_3 x - 3\log_3 y = -11$

Переносим $3\log_3 y$ на другую сторону:

$2\log_3 x = 3\log_3 y - 11$

Теперь делим обе стороны на 2:

$\log_3 x = \frac{3}{2}\log_3 y - \frac{11}{2}$

Теперь возведем обе стороны в степень 3, чтобы избавиться от логарифмов:

$x = 3^{\frac{3}{2}\log_3 y - \frac{11}{2}}$

Следующим шагом, подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$3\log_3 x + 2\log_3 y = 3$

Заменяем $x$:

$3\log_3\left(3^{\frac{3}{2}\log_3 y - \frac{11}{2}}\right) + 2\log_3 y = 3$

Теперь используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$:

$3\left(\frac{3}{2}\log_3 y - \frac{11}{2}\right) + 2\log_3 y = 3$

Упростим:

$\frac{9}{2}\log_3 y - \frac{33}{2} + 2\log_3 y = 3$

Теперь объединим логарифмы:

$\frac{13}{2}\log_3 y - \frac{33}{2} = 3$

Добавим $\frac{33}{2}$ к обеим сторонам:

$\frac{13}{2}\log_3 y = \frac{33}{2} + 3$

$\frac{13}{2}\log_3 y = \frac{39}{2}$

Теперь делим обе стороны на $\frac{13}{2}$:

$\log_3 y = 3$

Теперь мы можем найти значение $y$ из этого уравнения:

$3 = \log_3 y$

Теперь возведем обе стороны в степень 3:

$y = 3^3$

$y = 27$

Теперь у нас есть значения $x$ и $y$