Question

Найти наименьшее расстояние между линиями y= x²-4x+5 и y=-4

Answer 1

$y = x^{2} - 4x + 5$ - квадратичная функция, график - парабола, ветви которой направлены вверх.

$y = -4$ - линейная функция, график - прямая, которая параллельная оси абсцисс.

Наименьшим расстоянием между данными функциями будет расстояние (перпендикуляр) от вершины параболы до прямой $y = -4$

Координата вершины параболы:

$x_{0} = \dfrac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$;

$y_{0} = 2^{2} - 4\cdot 2 + 5 = 1$

Так как расстояние - это перпендикуляр, то расстоянием между данными функциями будет модуль разности их ординат, так как этот перпендикуляр параллелен оси ординат, то есть $|-4 - 1| = |-5| = 5$ единиц.

Ответ: 5.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Нужно найти вершину параболы :

xвершины= -b/2a = 4/2= 2

yвершины = 4-8+5= 1

Если мы построим данный график то вершина будет в точке (2;1), а проведя второй график будет проходить через y= -4.

1+|-4|=5 - наименьшее расстояние от вершины до прямой.

Answer 3

Для нахождения наименьшего расстояния между линиями $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = -4$, мы можем воспользоваться методом нахождения расстояния между двумя кривыми. Расстояние между этими двумя кривыми будет минимальным, когда перпендикуляр из какой-то точки на одной из кривых касается другой кривой.

Давайте найдем эту точку и расстояние от нее до кривой $y = x^2 - 4x + 5$.

1. Сначала найдем точку пересечения обеих кривых, то есть точку, в которой $y = x^2 - 4x + 5$ равно $-4$. Это можно сделать следующим образом:

$x^2 - 4x + 5 = -4$

2. Переносим -4 на правую сторону:

$x^2 - 4x + 5 + 4 = 0$

3. Упрощаем уравнение:

$x^2 - 4x + 9 = 0$

4. Теперь найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$

Поскольку дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней для этого уравнения. Это означает, что две кривые $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = -4$ не пересекаются.

5. Теперь мы ищем точку на кривой $y = x^2 - 4x + 5$, из которой проведенная касательная будет перпендикулярной к кривой $y = -4$. Мы будем искать точку, в которой производная $y = x^2 - 4x + 5$ равна нулю.

$\frac{dy}{dx} = 2x - 4$

6. Пусть $2x - 4 = 0$, тогда:

$2x = 4$

$x = 2$

Теперь, когда мы знаем, что $x = 2$, мы можем найти соответствующее значение $y$ на кривой $y = x^2 - 4x + 5$:

$y = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

Итак, точка $(2, 1)$ на кривой $y = x^2 - 4x + 5$ будет ближайшей точкой к кривой $y = -4$.

7. Теперь нам нужно найти расстояние между точкой $(2, 1)$ и кривой $y = -4$. Расстояние между точкой и кривой можно найти, вычислив разницу между $y$-координатами точки и значениями функции кривой $y = -4$:

$|1 - (-4)| = |1 + 4| = 5$

Итак, наименьшее расстояние между кривой $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = -4$ равно 5.