Question

Sin^2 x cos x Первообразная

Answer 1

Ошибочка вышла). F (x) = 1/3sin³(x) + C

Answer 2

Для нахождения первообразной от функции sin^2(x) * cos(x), мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям (методом интегрирования, известным также как формула интегрирования произведения функций). Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это две функции, которые мы выбираем для интегрирования.

В данном случае, мы можем выбрать: u = sin^2(x) => du = 2sin(x)cos(x)dx, dv = cos(x)dx => v = sin(x).

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫sin^2(x)cos(x)dx = sin(x)sin^2(x) - ∫sin(x) * 2sin(x)cos(x)dx.

Теперь у нас есть два интеграла:

1. ∫sin(x)sin^2(x)dx
2. ∫sin(x) * 2sin(x)cos(x)dx

Для первого интеграла, можно использовать замену переменной, например, t = sin(x):

∫sin(x)sin^2(x)dx = ∫t*t^2dt = ∫t^3dt.

Интегрируя t^3, получим (1/4)t^4 + C, где C - произвольная константа.

Теперь вернемся ко второму интегралу. Мы видим, что это произведение sin(x) и производной (по x) от (sin^2(x)). Мы можем использовать интегрирование по частям еще раз для второго интеграла:

u = sin(x) => du = cos(x)dx, dv = 2sin(x)cos(x)dx => v = -sin^2(x).

Применяя формулу интегрирования по частям к этому интегралу, получаем:

∫sin(x) * 2sin(x)cos(x)dx = -sin(x)sin^2(x) + ∫sin^2(x)cos(x)dx.

Теперь у нас есть термин -∫sin(x)sin^2(x) в обоих сторонах уравнения. Мы можем перенести его влево:

2∫sin(x)sin^2(x)dx = -sin(x)sin^2(x) + ∫sin^2(x)cos(x)dx.

Теперь можно решить это уравнение относительно ∫sin^2(x)cos(x)dx:

∫sin^2(x)cos(x)dx = (1/3)(-sin(x)sin^2(x)) + (2/3)∫sin^2(x)cos(x)dx.

Теперь, если выразить ∫sin^2(x)cos(x)dx с одной стороны уравнения, получим:

(1/3)(-sin(x)sin^2(x)) = (2/3)∫sin^2(x)cos(x)dx.

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

-sin(x)sin^2(x) = 2∫sin^2(x)cos(x)dx.

Теперь можно выразить ∫sin^2(x)cos(x)dx:

∫sin^2(x)cos(x)dx = -(1/2)sin(x)sin^2(x).

Таким образом, первообразная от функции sin^2(x) * cos(x) равна:

F(x) = -(1/2)sin(x)sin^2(x) + C,

где C - произвольная константа.