Question

Чи можна подати число √2+1 у вигляді арифметичного квадратного кореня з якогось раціонального числа? Очень срочно​

Answer 1

Допустим, что число $\sqrt2+1$ - результат извлечения квадратного корня из некоторого рационального числа - обозначим его буквой $x$

Тогда можем записать:

$\sqrt x=\sqrt2+1$

Если данное уравнение имеет рациональное решение, то число $\sqrt2+1$ таки можно представить в виде корня из рационального числа.

Обе части возведем в квадрат (учтем, что $x > 0$. Очевидно, что $x\neq 0$.

Имеем: $x=(\sqrt2+1)^2$

Правую часть распишем как квадрат суммы:

$x=(\sqrt2)^2+2\sqrt2+1;\\\\x=2+1+2\sqrt2\\\\x=3+2\sqrt2$

Однако полученное числа не является рациональным. Значит, ответ - нет.

Answer 2

Так, можна подати число √2 + 1 у вигляді арифметичного квадратного кореня з раціонального числа. Це можна зробити так:

√2 + 1 = (√2 + 1) * (√2 - 1)

Якщо ми домножимо √2 + 1 на (√2 - 1), то отримаємо:

(√2 + 1) * (√2 - 1) = (√2 * √2) - (√2 * 1) + (1 * √2) - (1 * 1) = 2 - √2 + √2 - 1 = 2 - 1 = 1

Отже, ми показали, що √2 + 1 можна подати у вигляді арифметичного квадратного кореня з раціонального числа, а саме 1.