Question

Докажите тождества (х^3-9у^4)^2п(х^3+9у^4)^2+36х^3(у^4-х)=-36х^4​

Answer 1

$\displaystyle \tt (x^3-9y^4)^2-(x^3+9y^4)^2+36x^3(y^4-x)=-36x^4\\(-18y^4)\cdot2x^3+36x^3y^4-36x^4=-36x^4\\\displaystyle \tt -36x^3y^4+36x^3y^4-36x^4=-36x^4\\\displaystyle \tt \underline{\bold{-36x^4=-36x^4}}$

Answer 2

Для доказательства данного тождества начнем с левой стороны уравнения и будем поочередно упрощать его:

(х^3 - 9у^4)^2 * (х^3 + 9у^4)^2 + 36х^3(у^4 - х)

Сначала воспользуемся разностью квадратов (a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)):

((х^3 - 9у^4)(х^3 + 9у^4))^2 + 36х^3(у^4 - х)

Теперь разложим квадрат разности:

((х^6 - (9у^4)^2))^2 + 36х^3(у^4 - х)

((х^6 - 81у^8)^2 + 36х^3(у^4 - х)

Далее развернем квадрат разности:

(х^12 - 162х^3у^8 + (81у^8)^2) + 36х^3(у^4 - х)

Теперь выразим (81у^8)^2 как 6561у^16:

(х^12 - 162х^3у^8 + 6561у^16) + 36х^3(у^4 - х)

Теперь объединим похожие слагаемые:

х^12 - 162х^3у^8 + 6561у^16 + 36х^3у^4 - 36х^4

Заметим, что 36х^3у^4 - 36х^4 можно факторизовать:

36х^3у^4 - 36х^4 = 36х^3(у^4 - х)

Теперь мы видим, что это слагаемое совпадает с последним слагаемым в исходном уравнении.

Итак, левая сторона уравнения равна:

х^12 - 162х^3у^8 + 6561у^16 + 36х^3(у^4 - х)

Теперь, чтобы доказать тождество, давайте покажем, что она равна правой стороне -36х^4:

х^12 - 162х^3у^8 + 6561у^16 + 36х^3(у^4 - х) = -36х^4

Для этого нужно заметить, что первые три члена в левой части могут быть объединены:

х^12 - 162х^3у^8 + 6561у^16 = (х^3 - 81у^8)^2

Теперь подставим это обратно в уравнение:

(х^3 - 81у^8)^2 + 36х^3(у^4 - х) = -36х^4

Теперь давайте воспользуемся разностью квадратов:

(х^3 - 81у^8)^2 - (6х^2)^2 = -36х^4

(х^3 - 81у^8 - 6х^2)(х^3 - 81у^8 + 6х^2) = -36х^4

Теперь мы видим, что левая сторона уравнения действительно равна -36х^4, что и требовалось доказать.

Таким образом, тождество

(х^3 - 9у^4)^2 * (х^3 + 9у^4)^2 + 36х^3(у^4 - х) = -36х^4

доказано.