Question

Как опеределить Одз для квадратных неравенств?Например: x^2+x-6>0

Answer 1

Графиком функции, соответствующей квадратному многочлену в левой части неравенства, является парабола.

Если в правой части неравенства стоит 0, то границей области значения переменной является ось Ох, значит, надо определить корни уравнения ax^2 + bx - c = 0.

Далее надо сопоставить знаки неравенства и знак коэффициента перед x^2.

В нашем случае ветви параболы направлены вверх и заданы только положительные значения функции.

Находим корни: x^2 + x - 6 = 0.

Д = 1 + 4*1*6 = 25.   х1 = (-1+5)/2 = 2,   х2 =  (-1-5)/2 = -3.

Ответ:  -3 > x > 2.

Answer 2

Для определения интервалов, на которых квадратное неравенство типа $x^2 + x - 6 > 0$ выполняется, вы можете использовать метод графического представления или метод интервалов. Вот как это можно сделать:

1. Метод графического представления:

   a. Начните с графика функции $f(x) = x^2 + x - 6$. Это квадратное уравнение будет представлять собой параболу.

   b. Найдите точки, где график функции $f(x)$ пересекает ось x, то есть где $f(x) = 0$. Для вашего уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ решения можно найти как $x = 2$ и $x = -3$.

   c. Теперь, с учетом этих точек, вы разбиваете ось x на три интервала: $(-∞, -3)$, $(-3, 2)$ и $(2, +∞)$.

   d. Теперь выбираете точку в каждом из этих интервалов и проверяете знак функции $f(x)$ в этой точке. Например, если вы выберете точку -4 из первого интервала и подставите ее в $f(x)$, то получите $f(-4) = 10$, что положительно.

   e. Повторите это для каждого интервала. Если $f(x)$ положительна в точке, то квадратное неравенство выполняется в этом интервале. Если $f(x)$ отрицательна, то оно не выполняется.

   f. Таким образом, для вашего уравнения $x^2 + x - 6 > 0$ квадратное неравенство выполняется на интервалах $(-∞, -3)$ и $(2, +∞)$.

2. Метод интервалов:

   Этот метод основан на анализе знаков квадратного выражения. Сначала решите квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$ для нахождения его корней, которые мы уже нашли: $x = 2$ и $x = -3$.

   Теперь создайте таблицу с тремя интервалами, разделенными найденными корнями: $(-∞, -3)$, $(-3, 2)$ и $(2, +∞)$.

   Выберите тестовую точку в каждом интервале и подставьте ее в исходное квадратное уравнение $x^2 + x - 6$. Затем определите знак полученного значения.

   • Для интервала $(-∞, -3)$ можно выбрать, например, $x = -4$. Подставив это значение, получим $f(-4) = 10$, что положительно.
   • Для интервала $(-3, 2)$ можно выбрать, например, $x = 0$. Подставив это значение, получим $f(0) = -6$, что отрицательно.
   • Для интервала $(2, +∞)$ можно выбрать, например, $x = 3$. Подставив это значение, получим $f(3) = 12$, что положительно.

   Таким образом, метод интервалов также дает тот же результат: квадратное неравенство выполняется на интервалах $(-∞, -3)$ и $(2, +∞)$.