Question

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

Answer 1

Размер кредита x млн руб.

0,2x млн. руб. - ежегодные проценты по кредиту

0,6x млн. руб. выплатит заёмщик в виде процентов.

x+0,6x = 1,6x млн. руб. - общая сумма выплат.

1,6x < 7

x < 4,375

Кредит на целое число миллионов рублей, значит наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей, составит 4 млн. руб.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей по шагам.

1. Выдается кредит на целое число миллионов рублей на 5 лет.
2. В середине каждого года долг заёмщика увеличивается на 20% от начальной суммы кредита.

Посмотрим, как изменяется долг заёмщика с течением времени:

• Начало 1-го года: 1 миллион рублей
• Середина 1-го года: 1.2 миллиона рублей
• Конец 1-го года: 1.2 миллиона рублей (выплачиваются только проценты)
• Середина 2-го года: 1.44 миллиона рублей
• Конец 2-го года: 1.44 миллиона рублей (выплачиваются только проценты)
• Середина 3-го года: 1.728 миллиона рублей
• Конец 3-го года: 1.728 миллиона рублей (выплачиваются только проценты)
• Середина 4-го года: 2.0736 миллиона рублей
• Конец 4-го года: 2.0736 миллиона рублей (в этот момент начинают выплачиваться и основная сумма)

Теперь, на конце 4-го года и 5-го года заёмщик выплачивает одинаковые суммы. Давайте посчитаем, сколько он должен выплатить в конце 4-го года:

• На конце 4-го года долг составляет 2.0736 миллиона рублей.
• Давайте предположим, что заёмщик выплачивает X миллионов рублей в конце 4-го года.

Тогда на конец 5-го года долг будет равен (2.0736 - X) миллионов рублей, и он должен будет выплатить эту сумму вместе с процентами.

Теперь мы можем записать уравнение для общей суммы выплат заёмщика:

Сумма выплат = Проценты за 1-й, 2-й и 3-й годы + X (в конце 4-го года) + (2.0736 - X) (в конце 5-го года)

Теперь нам нужно найти такое значение X, при котором сумма выплат будет меньше 7 миллионов рублей:

Проценты за 1-й, 2-й и 3-й годы = 1.2 + 1.44 + 1.728 = 4.368 миллиона рублей

Теперь уравнение выглядит так:

4.368 + X + (2.0736 - X) < 7

Упростим его:

6.4416 - X < 7

Теперь выразим X:

X > 6.4416 - 7

X > -0.5584

Так как X должно быть положительным числом (заёмщик должен выплатить хотя бы какую-то сумму в конце 4-го года), наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 миллионов рублей, составляет 1 миллион рублей.