Question

Вычислите предел фунцкии: lim ->∞ (4-x^3+x^5)/(2x^5+x-3)

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{4-x^3+x^5|:x^5}{2x^5+x-3|:x^5}=|\frac{\infty}{\infty}|=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{4}{x^5}-\frac{x^3}{x^5}+\frac{x^5}{x^5} }{\frac{2x^5}{x^5}+\frac{x}{x^5}-\frac{3}{x^5}}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{4}{x^5}-\frac{1}{x^2}+1 }{2+\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5}}=\frac{0-0+1}{2+0-0}=\frac{1}{2}.$

Answer 2

Чтобы вычислить предел функции при x, стремящемся к бесконечности, можно воспользоваться правилом Лопиталя, если это применимо. Для этого правила необходимо проверить, выполняется ли условие $\lim_{{x\to\infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, где $f'(x)$ и $g'(x)$ - производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

Давайте найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$:

$f(x) = 4 - x^3 + x^5$

$f'(x) = 0 - 3x^2 + 5x^4 = -3x^2 + 5x^4$

$g(x) = 2x^5 + x - 3$

$g'(x) = 10x^4 + 1$

Теперь вычислим предел отношения производных:

$\lim_{{x\to\infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{{x\to\infty}} \frac{-3x^2 + 5x^4}{10x^4 + 1}$

Теперь можно применить правило Лопиталя:

$\lim_{{x\to\infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{{x\to\infty}} \frac{d/dx(-3x^2 + 5x^4)}{d/dx(10x^4 + 1)}$

$\lim_{{x\to\infty}} \frac{-6x + 20x^3}{40x^3} = \lim_{{x\to\infty}} \frac{-6}{40} + \frac{20}{40x^2} = \frac{-6}{40} + 0 = -\frac{3}{20}$

Таким образом, предел функции $\lim_{{x\to\infty}} \frac{4-x^3+x^5}{2x^5+x-3}$ при x, стремящемся к бесконечности, равен $-\frac{3}{20}$.