Question

Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x) = 6 tg x - 3 ctg x у точці з абсцисою х0 = π ⁄ 3

Answer 1

Ответ:

28

Объяснение:

Угловой коэффициент касательной равен производной функции в этой точке.

1. Найдем производную функции.$f^{'}(x) = (6tgx - 3 ctgx)^{'} = (6tg x)^{'} - (3tg x)^{'} = 6* \frac{1}{cos^{2}x } - 3* (-\frac{1}{sin^{2}x } ) =\\\\= \frac{6}{cos^{2}x } + \frac{3}{sin^{2}x }$

2. Подставим значение абсциссы в полученную производную функции:

$f^{'} (\frac{\pi }{3} ) = \frac{6}{cos^{2}\frac{\pi }{3} } + \frac{3}{sin^{2} \frac{\pi }{3} } = \frac{6}{(\frac{1}{2} )^{2} } + \frac{3}{(\frac{\sqrt{3} }{2} )^{2} } = \\\\= \frac{6}{\frac{1}{4} } + \frac{3}{\frac{3}{4} } = 6*\frac{4}{1} + 3*\frac{4}{3} = 24 + 4 = 28$

Answer 2

Для знаходження кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції f(x) у точці x = π/3, спершу знайдемо значення похідної функції f(x) в цій точці. Похідна функції f(x) визначає кутовий коефіцієнт дотичної.

Для обчислення похідних використовуємо правила похідних тригонометричних функцій:

f(x) = 6tg(x) - 3ctg(x)

Для початку обчислимо похідну від tg(x) та ctg(x):

f'(x) = 6 * (tg(x))' - 3 * (ctg(x))'

За правилами похідних тригонометричних функцій:

(tg(x))' = sec^2(x) (ctg(x))' = -csc^2(x)

Отже,

f'(x) = 6 * sec^2(x) - 3 * (-csc^2(x))

Тепер обчислимо значення похідної в точці x = π/3:

f'(π/3) = 6 * sec^2(π/3) - 3 * (-csc^2(π/3))

Спершу знайдемо значення sec(π/3) та csc(π/3). Ми знаємо, що:

sec(π/3) = 2 csc(π/3) = 2√3/3

Підставляючи ці значення, отримаємо:

f'(π/3) = 6 * (2^2) - 3 * (-(3^2/2^2))

f'(π/3) = 24 + 27/4

Тепер обчислимо суму цих чисел:

f'(π/3) = (96/4) + (27/4)

f'(π/3) = 123/4

Отже, значення похідної f'(π/3) дорівнює 123/4.

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x) в точці x = π/3 дорівнює значенню похідної f'(x) в цій точці:

Кутовий коефіцієнт = f'(π/3) = 123/4

Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x) у точці x = π/3 дорівнює 123/4.