Question

Решить неравенства: 1) (4-х)(х+2)(х-3) > 0; 2) (x²+4)(х-8)(4+х) < 0; 3) (9x²-4)(9-x²)(7x²+2) > 0

Answer 1

Ответ:

1)х∈(-2, 3)∪(4, +∞)

2)х∈(-4, 8)

3)х∈(-3, -2/3)∪(2/3, 3)

Объяснение:

1) (4-х)(х+2)(х-3) > 0;

х+2=0

х₁= -2

х-3=0

х₂=3

4-х=0

-х= -4

х₃=4

Отмечаем найденные точки на числовой оси и определяем знаки на каждом интервале.

Решения неравенства: х∈(-2, 3)∪(4, +∞), то есть, находятся на отрезке от -2 до 3 и на отрезке от 4 до + бесконечности.    

2) (x²+4)(х-8)(4+х) < 0;

а)4+х=0

х₁= -4

б)х-8=0

х₂=8

в)х²+4=0

х²= -4, корней нет, НО:

так как а (коэффициент при х) =1, то есть, >0, то х²+4 > 0 при любых значениях х.

Отмечаем найденные точки на числовой оси и определяем знаки на каждом интервале.

Решения неравенства: х∈(-4, 8), то есть, находятся на отрезке от -4 до 8.

3) (9x²-4)(9-x²)(7x²+2) > 0

а)9x²-4=0

9х²=4

х²=4/9

х₁,₂=±√4/9=±2/3

б)9-х²=0

-х²= -9

х²=9

х₁,₂=±√9=±3

в)7x²+2=0

7х²= -2

х²= -2/7  корней нет, НО:

так как а (коэффициент при х) =7, то есть, >0, то 7х²+2 > 0 при любых значениях х.

Расположим значения х по возрастающей, отметим найденные точки на числовой оси и определим знаки на каждом интервале:

х₁= -3         х₂= -2/3         х₃=2/3          х₄=3

Решения неравенства х∈(-3, -2/3)∪(2/3, 3), то есть, находятся на отрезке от -3 до -2/3 и на отрезке от 2/3 до 3,

Answer 2

Для решения неравенств с использованием метода интервалов, мы будем исследовать знаки каждого множителя в неравенстве и определим, когда произведение этих множителей будет больше или меньше нуля. Затем мы объединим интервалы, в которых неравенство выполняется.

1. (4-х)(х+2)(х-3) > 0:

a) (4-х): Этот множитель меняет знак с положительного на отрицательный при x > 4.

b) (х+2): Этот множитель меняет знак с отрицательного на положительный при x > -2.

c) (х-3): Этот множитель меняет знак с отрицательного на положительный при x > 3.

Чтобы получить положительное произведение, необходимо, чтобы количество изменений знака было четным. Из анализа выше видно, что это произойдет на интервалах (-бесконечность, -2), (3, 4) и (4, +бесконечность). Теперь объединим эти интервалы:

x < -2 или 3 < x < 4 или x > 4.

2. (x²+4)(х-8)(4+х) < 0:

a) (x²+4): Этот множитель всегда положителен для всех значений x.

b) (х-8): Этот множитель меняет знак с положительного на отрицательный при x < 8.

c) (4+х): Этот множитель меняет знак с положительного на отрицательный при x < -4.

Чтобы получить отрицательное произведение, необходимо, чтобы количество изменений знака было нечетным. Из анализа выше видно, что это произойдет на интервалах (-4, -бесконечность) и (-бесконечность, 8). Теперь объединим эти интервалы:

x < -4 или x < 8.

3. (9x²-4)(9-x²)(7x²+2) > 0:

a) (9x²-4): Этот множитель меняет знак с положительного на отрицательный при x < -2/3 и x > 2/3.

b) (9-x²): Этот множитель меняет знак с положительного на отрицательный при x < -3 и x > 3.

c) (7x²+2): Этот множитель всегда положителен для всех значений x.

Чтобы получить положительное произведение, необходимо, чтобы количество изменений знака было четным. Из анализа выше видно, что это произойдет на интервалах (-3, -2/3) и (2/3, 3). Теперь объединим эти интервалы:

-3 < x < -2/3 или 2/3 < x < 3.

Итак, решения неравенств:

1. x < -2 или 3 < x < 4 или x > 4.

2. x < -4 или x < 8.

3. -3 < x < -2/3 или 2/3 < x < 3.