Question

Корни х1 и х2 уравнения х^2+6х+с=0 удовлетворяют условию х1 - 3х2 = 22. Найти корни уравнения и значение с

Answer 1

Задача: Корни х₁ и х₂ уравнения х²+6х+с=0 удовлетворяют условию х₁−3х₂=22. Найти корни уравнения и значение с.

Решение:

По т. Виета:

$x_1+x_2=-6\\x_1\cdot x_2=c$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin {cases} x_1-3x_2=22 \\ x_1+x_2=-6 \end. -$

$-4x_2=28\\x_2=-7\\\\x_1=-6-x_2 = -6-(-7)=1$

Подставим значения для нахождения коэффициента с:

$c=x_1\cdot x_2 = 1\cdot (-7)=-7$

Ответ: x₁ = 1, x₂ = −7, c = −7.

Answer 2

Для нахождения корней уравнения и значения параметра c в уравнении $x^2 + 6x + c = 0$, удовлетворяющего условию $x_1 - 3x_2 = 22$, мы можем воспользоваться методом дискриминанта.

Сначала, давайте найдем корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 6x + c = 0$. Это можно сделать, используя формулу для квадратных уравнений:

$$x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

В данном случае, $a = 1$, $b = 6$ и $c = c$. Мы также знаем, что $x_1 - 3x_2 = 22$.

Теперь мы можем использовать это условие:

$$x_1 - 3x_2 = 22$$

Подставим $x_1$ и $x_2$ из формулы для корней:

$$\frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4c}}{2} - 3\left(\frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4c}}{2}\right) = 22$$

Теперь упростим это уравнение:

$$-6 \pm \sqrt{36 - 4c} - 3\left(-6 \pm \sqrt{36 - 4c}\right) = 22$$

Раскроем скобки:

$$-6 \pm \sqrt{36 - 4c} + 18 \mp 3\sqrt{36 - 4c} = 22$$

Теперь объединим подобные члены:

$$12 - 2\sqrt{36 - 4c} = 22$$

Выразим $\sqrt{36 - 4c}$:

$$-2\sqrt{36 - 4c} = 22 - 12$$

$$-2\sqrt{36 - 4c} = 10$$

Теперь делим обе стороны на -2:

$$\sqrt{36 - 4c} = -5$$

Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$36 - 4c = 25$$

Выразим c:

$$-4c = 25 - 36$$

$$-4c = -11$$

Теперь делим обе стороны на -4:

$$c = \frac{-11}{-4}$$

$$c = \frac{11}{4}$$

Итак, значение параметра c равно $c = \frac{11}{4}$.

Теперь мы можем найти корни уравнения, подставив значение c в формулу для корней:

$$x_1, x_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4\cdot\frac{11}{4}}}{2\cdot1}$$