Question

269. Какая из точек A (12; 13) или B (16; 14) ближе к окружности x² + y² - 8x - 46y + 343 = 0?​

Answer 1

$x^{2} + y^{2} - 8x - 46y + 343 = 0$

Составим из этого уравнения стандартное уравнение окружности:

$(x^{2} - 8x + 16)- 16 + (y^{2} - 46y + 529) - 529 + 343 = 0$

$(x - 4)^{2} + (y - 23)^{2} = 202$

Имеем уравнение окружности с центром в точке $(4; \ 23)$ и радиусом $\sqrt{202}$

Точка будет ближе к окружности та, которая при подстановке ее координат в уравнение окружности, будет ближе к значению ее радиуса в квадрате.

Точка $A(12; \ 13):$

$(12 - 4)^{2} + (13 - 23)^{2} = 8^{2} + (-10)^{2} = 64 + 100 = 164$

Точка $B(16; \ 14):$

$(16 - 4)^{2} + (14 - 23)^{2} = 12^{2} + (-9)^{2} = 144 + 81 = 225$

Таким образом, $|202 - 164| = |38| = 38$ и $|202 - 225| = |-23| = 23$

Точка $B(16; \ 14)$ находится ближе к окружности.

Ответ: $B(16; \ 14)$

Answer 2

Для определения, какая из точек A (12; 13) или B (16; 14) ближе к окружности, нужно вычислить расстояние от каждой из этих точек до центра окружности, которая задана уравнением x² + y² - 8x - 46y + 343 = 0.

Сначала найдем центр окружности. Уравнение окружности имеет стандартную форму:

(x - h)² + (y - k)² = r²,

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Из уравнения x² + y² - 8x - 46y + 343 = 0 мы можем выразить координаты центра окружности (h, k):

h = 8/2 = 4, k = (-46)/2 = -23.

Таким образом, центр окружности находится в точке (4, -23).

Теперь вычислим расстояние от каждой из точек A и B до центра окружности:

1. Для точки A(12, 13): Расстояние = √((x₁ - h)² + (y₁ - k)²) Расстояние = √((12 - 4)² + (13 - (-23))²) Расстояние = √(8² + 36²) Расстояние = √(64 + 1296) Расстояние = √1360 Расстояние ≈ 36.85.

2. Для точки B(16, 14): Расстояние = √((x₂ - h)² + (y₂ - k)²) Расстояние = √((16 - 4)² + (14 - (-23))²) Расстояние = √(12² + 37²) Расстояние = √(144 + 1369) Расстояние = √1513 Расстояние ≈ 38.93.

Итак, расстояние от точки A до центра окружности составляет около 36.85, а расстояние от точки B до центра окружности составляет около 38.93. Таким образом, точка A ближе к окружности.