Question

Срочноооо даю много баллов, надо найти наибольшее и наименьшее значение выражения 2sin^2x-3cos^2x​

Answer 1

$2\sin^2x-3\cos^2x=2\sin^2x-3\cdot\big(1-\sin^2x\big)=\\\\=2\sin^2x-3+3\sin^2x\boldsymbol{=5\sin^2x-3}\\\\\\-1\leq \sin x\leq 1\\\\0\leq \big|\sin x\big|\leq 1~~~~~\big|(\ )^2\\\\0\leq \sin^2 x\leq 1~~~~~\big|\cdot 5\\\\0\leq 5\sin^2 x\leq 5~~~~~\big|-3\\\\-3\leq 5\sin^2 x-3\leq 2\\\\\boxed{\boldsymbol{-3\leq 2\sin^2x-3\cos^2x\leq 2}}$

Ответ : наименьшее  значение  (-3),

            наибольшее  значение 2

==========================

Использовано основное тригонометрическое тождество

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения 2sin^2(x) - 3cos^2(x), мы можем воспользоваться тригонометрическими исследованиями данной функции.

Сначала выразим sin^2(x) и cos^2(x) через друг друга, используя тригонометрическую тождественность: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Теперь подставим это выражение в исходное выражение: 2(1 - cos^2(x)) - 3cos^2(x).

Раскроем скобки и упростим выражение: 2 - 2cos^2(x) - 3cos^2(x) = 2 - 5cos^2(x).

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение этой функции, нужно определить, когда cos^2(x) будет наибольшим и наименьшим.

cos^2(x) находится в диапазоне от 0 до 1. Исходя из этого, наименьшее значение 5cos^2(x) будет равно 0 (когда cos^2(x) = 0), а наибольшее значение будет равно 5 (когда cos^2(x) = 1).

Итак, наименьшее значение выражения 2sin^2(x) - 3cos^2(x) равно 2 - 5 = -3, а наибольшее значение равно 2 - 0 = 2.

Таким образом, наименьшее значение равно -3, а наибольшее значение равно 2.