Question

Сколько натуральных (с единицы) чисел n среди первых 5000 таковы, что (n - 1)! делится на n? Я знаю, что ответ 4330, но как это доказать математически ​

Answer 1

Объяснение:

Если n - простое число, то (n-1)! на делится на n, так как все его простые множители, очевидно, меньше n.

Если n можно представить в виде произведения двух различных чисел, то эти числа точно не больше чем n-1 и, следовательно, будут участвовать в произведении, и (n-1)! будет делиться на n.

Если же составное число n нельзя представить в виде произведения двух различных чисел, то n - квадрат простого числа p. Тогда в произведении (n-1)! будет p-1 чисел, кратных p, и, если p больше двух, (n-1)! будет делиться на p^(p-1), то есть и на p²=n.

Простых чисел до 5000 всего 669 (проверял программой, не знаю где найти это число), из составных исключением является n=2² => 3!=6 не делится на 4. Также 0!=1 делится на 1. Из 5000 чисел не подходят 670, значит остальные 4330 подходят.

Answer 2

Чтобы доказать, что среди первых 5000 натуральных чисел есть 4330 чисел n, для которых (n - 1)! делится на n, давайте воспользуемся теорией чисел и свойствами факториала.

Как известно, (n - 1)! - это произведение всех натуральных чисел от 1 до (n - 1). Мы хотим, чтобы (n - 1)! было кратно n, что означает, что n должно делить (n - 1)! без остатка.

Для n = 1, 2, 3, 4, ... , 5000 посчитаем, когда (n - 1)! делится на n.

1. При n = 1, (n - 1)! = 0, что делится на n без остатка.

2. При n = 2, (n - 1)! = 1, что делится на n без остатка.

3. При n = 3, (n - 1)! = 2, что не делится на n без остатка.

4. При n = 4, (n - 1)! = 6, что делится на n без остатка.

5. При n = 5, (n - 1)! = 24, что делится на n без остатка.

И так далее. Мы видим, что для каждого n, который является простым числом, (n - 1)! делится на n без остатка (например, для простых чисел 2, 3, 5, 7 и т. д.). Это происходит потому, что факториал (n - 1)! содержит все простые числа, меньшие или равные n, и поэтому делится на n.

Теперь давайте посчитаем количество простых чисел в диапазоне от 1 до 5000. Это можно сделать с помощью функции Эйлера (функция, которая возвращает количество натуральных чисел, взаимно простых с данным числом). Мы знаем, что для простого числа p, значение функции Эйлера φ(p) равно p - 1. Таким образом, количество простых чисел в диапазоне от 1 до 5000 равно φ(5000) = 2000.

Итак, у нас есть 2000 простых чисел в диапазоне от 1 до 5000, и для каждого из них (n - 1)! делится на n без остатка.

Теперь давайте рассмотрим составные числа. Мы заметили, что (n - 1)! делится на n без остатка, если n - простое. Но как насчет составных чисел? Давайте рассмотрим пример n = 6.

При n = 6, (n - 1)! = 5! = 120, но 6 не делится на 120 без остатка. Это происходит потому, что 6 = 2 * 3, и у нас есть множество 2 и 3 в разложении числа 120 в (n - 1)!.

Для составных чисел n, которые можно разложить на простые множители (p_1, p_2, ..., p_k), то есть n = p_1 * p_2 * ... * p_k, (n - 1)! также будет содержать множество множителей p_1, p_2, ..., p_k. Поэтому n не делится на (n - 1)! без остатка.

Теперь, чтобы найти количество составных чисел n в диапазоне от 1 до 5000, для которых (n - 1)! делится на n, вычитаем количество простых чисел (2000) из общего количества чисел в этом диапазоне (5000):

5000 - 2000 = 3000.

Итак, среди первых 5000 натуральных чисел существует 2000 простых чисел и 3000 составных числа, для которых (n - 1)! делится на n без остатка. Суммируем эти два числа:

2000 + 3000 = 5000.

Таким образом, действительно существует 5000 натуральных чисел n среди первых 5000, для которых (n - 1)! делится на n без остатка, и ваш ответ, 4330, неверен. Правильный ответ - 5000.